新领域——算数动力学，数论与动力系统的结合，解决了超级难题

• 算术动力学利用数论中的对象（如椭圆曲线）和动态系统中的对象（如朱利亚集合）之间的相似性，对这两者产生新的见解。

数学家约翰·米尔诺研究课题是一个叫做复杂动力学的领域，而布朗大学的数学家西尔弗曼对这个领域知之甚少。但是，当西尔弗曼了解了一些复杂动力学的基本概念后，他发现，这与数论领域具有惊人的相似性。

乍一看，这两者就像是数学中不相关的分支。但西尔弗曼认识到，它们在某种特定的方面相互补充。数论寻找的是数字序列的模式，而动力系统实际上产生的是数字序列（就像在有规律的时间间隔内定义行星在空间中的位置的序列）。当数学家们寻找隐藏在这些序列中的数字理论模式时，两者就会合并。

经过几十年的研究，数学家们戏剧性地加强了数学两个分支（动力系统与数论）之间的联系，并建立了一个全新的领域，即算术动力学。

这个领域的范围还在继续扩大。在去年发表在《数学年鉴》上的一篇论文中，三位数学家将数论与动力系统的联系发展到了一个全新的高度。这样，他们解决了数论中一个存在了几十年的问题的一部分，这个问题以前似乎与动力系统没有任何明确的联系。

新的证明量化了一种曲线在周围空间中与特殊点相交的次数。数论学家以前想知道，对于交集的数量是否有上限。证明的作者利用算术动力学证明了某一特定曲线集合有一个上限值。

曲线运动

2010年5月，一群数学家聚集在巴巴多斯的一个小型研究机构讨论数学。这是算术动力学发展的关键时刻。它汇集了数论专家，比如西尔弗曼，以及动力系统专家，比如德马科和克里格。他们的目标是，通过进一步挖掘这两个领域的联系来解决更多的问题。

他们的出发点是数论的中心对象之一，椭圆曲线。就像圆和线一样，椭圆曲线既是数字又是形状。它们是一对数字（x和y），可以作为一个代数方程的解，比如 y^2 = x^3 − 2x。这些解的图形创建了一个几何形状，看起来有点像一条垂直的线挤出了一个气泡。

• 椭圆曲线，椭圆曲线具有丰富的结构。它们是数论研究的一个重要对象。

数学家们一直对量化和分类这些曲线的各种性质很感兴趣。到目前为止，最著名的是安德鲁·怀尔斯在1994年对费马大定理的著名证明，这是一个关于哪些方程的解是整数的问题。这个证明很大程度上依赖于对椭圆曲线的研究。一般来说，数学家们关注椭圆曲线，是因为它们即不是微不足道不值得研究，也不是难到无法研究。

佐治亚理工学院的数学家马特·贝克说：

椭圆曲线仍然非常神秘，它们一直在产生新的数学结果。

数学家们对椭圆曲线上的点特别感兴趣，这些点在曲线上以一种特殊的方式移动。在椭圆曲线上，你可以用标准加法将点彼此相加，但这种方法不是很有用，因为和不太可能是曲线上的另一个点。

但是椭圆曲线有一个特殊的内部结构，它创造了一种不同类型的算术。这种结构称为群，使用其自包含的算术规则将点相加的结果是完全不同的。如果你根据群结构在椭圆曲线上加两点，和总是曲线上的第三点。如果你无限次重复这个过程，结果就是无限多的点都在椭圆曲线上。（关于群论的更多细节，可以阅读这篇文章：由浅入深，轻松理解抽象代数的重要分支——群论 ）

不同的起点会产生不同的序列。“大本营点（home base）”是具有非常独特属性的起点。如果你反复地把这些点相加，它不会产生无限的新点序列。相反，它创建了一个循环，最终回到开始时的点。

• 扭转点，当一个扭转点被反复加到自身上时，结果最终会回到起始点。

这些产生循环的特殊起始点称为扭转点。他们是数字理论家们最感兴趣的。它们也与动力系统的某一特定类型的点有惊人的对应关系，正是这种对应关系真正让算术动力学成为可能。

重复模式

动力系统经常被用来描述现实世界的现象，根据一个重复的规则向前移动，就像一个球根据牛顿定律的反弹。将一个初始值插入到一个函数中，然后得到一个输出，这个输出将成为新的输入。

一些最有趣的动力系统是由像 f(x) = x^2 − 1这样的函数驱动的，这些函数与被称为茱莉亚集的复杂分形图有关。如果你使用复数反复应用这个函数（将每个输出返回到函数中作为下一个输入），在复平面中生成一系列点。

• 这是茱莉亚集合的一个例子。

这只是二次多项式的一个例子。二次多项式是动力系统研究的基础，正如椭圆曲线是数论研究的基础一样。

动力系统在进化过程中产生一系列的数字。以二次函数f(x) = x^2−1为例。如果从值x = 2开始，会得到无穷序列2，3，8，63等等。

但是，并不是所有的起始值都会生成一个不断变大的序列。如果从x = 0开始，同样的函数会生成不同类型的序列：0，−1，0，−1，0等等。

在动力系统的世界中，其序列最终重复的起点称为有限轨道点。它们是椭圆曲线上的扭转点的直接类比。在这两种情况下，都是从一个值开始，应用系统或曲线的规则，并以循环结束。这是三位数学家在他们的新证明中所利用的类比。

这个简单的观察（椭圆曲线上的扭转点与某一动力系统的有限轨道点相同）是我们在论文中反复使用的——研究者，德马科

设定一个上限

三位数学家（克里格、叶都和德马科）设想一种方法来扩展椭圆曲线的扭转点与动力系统的有限轨道点之间的关键类比。他们把一个看似无关的问题转化成一个可以直接应用类比的问题。这个问题源于曼宁-芒福德猜想。

曼-芒福德猜想是关于比椭圆曲线更复杂的曲线，比如y^2 = x^6 + x^4 + x^2−1。每条曲线都有一个与之相关的更大的几何对象，称为雅可比矩阵（它模拟了曲线的某些特性，对于数学家来说通常比曲线本身更容易研究）。曲线在雅可比矩阵中的位置就像拼图中的一块一样。

与椭圆曲线不同，这些更复杂的曲线没有这样的群结构，即使曲线上的点相加的结果仍在曲线上。但是相关的雅可比矩阵可以。雅可比矩阵也有扭转点，就像椭圆曲线一样，在反复的内加法下，会回到起始点。

曼宁-芒福德猜想是关于这些隐藏在雅可比矩阵中的复杂曲线与雅可比矩阵的扭转点相交的次数。它预测这些交点只会出现有限的次数。这个猜想反映了曲线的代数性质（扭转点是定义曲线的方程的特殊解）和它作为几何对象之间的相互关系（反映了曲线是如何嵌入雅可比矩阵的，就像一个形状嵌入另一个形状）。扭转点在雅可比矩阵的每个区域都是存在的。如果你放大它的任何一小部分，你都会找到它们。

1983年，米歇尔·雷诺证明了这个猜想是正确的。从那以后，数学家们一直在尝试改进他的结果。既然知道它们只有有限的共同点，那么每个数学家都会问，有多少个？

但是，由于缺乏一个清晰的框架来定义这些点的复数，计算交点的努力受到了阻碍。算术动力学最终起了作用。

转换问题

在他们2020年的论文中，三位数学家证明了曲线的交点数有一个上界（并没有准确地确定这一上限）。雷诺之前的结果证明了交集的数量是有限的，但它为这个有限的数留出了空间，让它尽可能大。

它们的证明依赖于与这个特殊曲线族相关的雅可比矩阵的一个独特性质，它们可以被分成两条椭圆曲线。

组成雅可比矩阵的椭圆曲线的解为复数。它们不是弯曲的线条，而是像甜甜圈的表面。德马科、克里格和叶研究的特定曲线族的雅可比矩阵看起来像具有两个洞的甜甜圈。它们很好地分解成两个规则的甜甜圈，每一个都是两个组成椭圆曲线之一的图形。

新工作的重点是这些椭圆曲线的扭转点。三个数学家对复杂曲线的交点个数及其雅可比矩阵的扭转点感兴趣，这可以用其中一条椭圆曲线上的扭转点与另一条椭圆曲线上的扭转点重叠的次数来表示。因此，要给曼宁-芒福德猜想设定一个界限，所有的研究者需要做的就是计算这些扭转点之间的交点。

这不能直接完成。这两条椭圆曲线和它们的扭转点不能直接比较，因为它们不一定重叠。扭转点散布在椭圆曲线的表面上，但这两条曲线可能有非常不同的形状。这就像比较球体表面上的点和立方体表面上的点一样（这些点可以有相似的相对位置，但实际上没有重叠）。

但是，尽管扭转点实际上不一定是重叠的，但可以把它们看成是在每个甜甜圈上相同的相对位置上的一对。在它们各自的甜甜圈上占据相同相对位置的一对扭转点可以认为是相交的。

为了精确地确定这些交点的位置，作者们不得不将扭转点从各自的曲线上移开，并将它们放在彼此的位置上（就像你将一张星图与夜空相匹配一样）。

数学家们知道这些“星图”，但他们没有一个好的视角来计算重叠的点。德马科、克里格和叶利用算术动力学做到了这一点。他们把两条椭圆曲线转换成两种不同的动力系统。这两个动力系统在复平面上生成点。

我们更容易想到一个空间包含两个独立的动力系统，而不是两个独立的空间包含一个动力系统。——德马科

两个动力系统的有限轨道点对应于椭圆曲线的扭转点。现在，为了给曼-芒福德猜想设定一个界限，数学家们只需要计算这些有限轨道点重叠的次数。他们使用动力系统的技术来解决这个问题。

计算重叠

椭圆曲线上的扭转点没有增长，因为它们会绕回自身。数学家们用“高度函数”来衡量这种增长。当作用于椭圆曲线的扭转点时，它等于零。同样，当应用于动力系统的有限轨道点时，它等于零。高度函数是算术动力学中必不可少的工具，因为它们可以在两个分支之间的分界的任何一边使用。

作者研究了代表椭圆曲线的动力系统的零高度点重合的频率。他们证明了这些点在复平面上分散得足够多，所以它们不太可能重合（事实上，重合次数不可能超过特定的次数）。

这个数字很难计算，而且可能比实际重合点的数量要大得多，但作者证明了这个上限确实存在。然后，他们将这个问题重新转化为数论的语言，以确定两条椭圆曲线上共享扭转点的最大数目，这是问题的关键，也是算术动力学一个引人注目的地方。

它们能够回答一个已经存在于数论中的特定问题，而没有人认为它与动力系统有任何关系。

在德马科、克里格和叶第一次发表了他们对曼宁-芒福德猜想一致的证明后不久，他们又发表了第二篇相关论文，是关于动力系统的问题，而不是数论，但它使用类似的方法。这两篇论文综合了过去三十年来从事算术动力学的数学家们所发展的许多思想，同时也添加了全新的技术。但西尔弗曼认为这些论文不仅是结论性的，更具有启发性，暗示着这一新学科将产生更广泛的影响。