数学《选修2-2》1.1变化率和导数
数学和诗歌都具有永恒的性质。历史上，诗歌使得通常的交际语言完美，而数学则在创造描述精确思想的语言中起了主要作用。——卡迈克尔
一、要背的概念和公式：
1、导数的定义：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0 ΔxΔy＝limΔx→0 Δxf(x0＋Δx)－f(x0)称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0 ΔxΔy＝limΔx→0 Δxf(x0＋Δx)－f(x0).
2、导数的意义：函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
3、导函数：当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f′(x)是x的一个函数，称f′(x)是f(x)的导函数(简称导数)．f′(x)也记作y′，即f′(x)＝y′＝limΔx→0 Δxf(x＋Δx)－f(x).
二、例题：
课本上的例题没有什么意义，只是为了让你理解导数的定义，知道割线和切线的差别就行了。
三、注意事项：
1、结合物理学中平均速率和瞬时速率的差别，来理解数学中的导数。
2、课本上有几个用定义法来求导数的例子，我们没必要去掌握，学会下一节的公式后可以轻松解决，所以建议先背会下一节的8个公式。
3、理解导数和割线斜率的差别。
4、区分清楚在A点的切线和过A点的切线的差别，掌握好固定题型。
四、要注意的题型：
1．下列说法正确的是()
A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处就没有切线
B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在
C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在
D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在
2．已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是()
A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)<f′(xB) C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定
3．在曲线y＝x2上切线倾斜角为4π的点是()
A．(0,0) B．(2,4) C．(41，161) D．(21，41)
4．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于()
A．1 B．21 C．－21 D．－1
5．设y＝f(x)为可导函数，且满足条件limΔx→0 2xf(1)－f(1－x)＝－2，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率是________．
6．y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))的切线是y＝21x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________.
7．求过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线．
8.如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝()
A．2 B．3 C．4 D．5
9．若曲线y＝2x2－4x＋P与直线y＝1相切，则P＝________.
10．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的范围为4π，则点P横坐标的取值范围为________．
11．已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10.求：
(1)它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程．
12．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．
13．已知曲线C：y＝x3.
(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程；
(2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？
答案 CBDA －4 3 2x－y＋4＝0.A 3 21
11．(－2,8)或(3,13)． 4x＋y＝0，6x－y－5＝0.
12．a＝－3. 13．(1)3x－y－2＝0.(2)公共点为(1,1)或(－2，－8)．
温馨提醒：
由于数学符号的特殊性，很多符号无法粘贴下来，具体内容请以下面的图片为准。