纸条平结与正五边形

作者: 西北工业大学航空学院结构动力学与控制研究所教授 杨智春
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1纸条平结与正五边形
2姜伯驹院士的证明文档
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纸条平结与正五边形
今天要分享给大家的，是一个我亲身经历的故事。

事情要从10天前说起。尽管新冠疫情依然严峻，一年一度的寒假依然如期而来。2021年1月16日，学生开始放假，对于我这个习惯于假期继续工作的大学教师，也或多或少地感受到假期的来临，当天虽然是依旧按点到办公室上班，但大脑不受控制地有所放纵，思考的问题，不知不觉地超出了我的专业范围，那个在我记忆中挥之不去的问题，就这样不受控制地冒了出来。我查看了我的微信聊天记录，应该是1月16日18:54分，我在微信私聊中，给西安建筑科技大学力学技术研究院院长、南非科学院院士孙博华教授，提出了那个我称之为“纸条平结”的问题：“孙院士好！我发现，一根长矩形纸条，打个平结，得到一个正五边形，这个有证明吗？”为了形象地说明这个问题，我特意从一张A4打印纸上，裁下一张长矩形的纸条，并把打平结的过程拍照发给了孙院士（见图a)-图d)）。
图a): 一个足够长的矩形纸条
图b): 纸条打一个简单的结
图c): 压平整
图d): 得到的正五边形?

当然，图c)所说的正五边形，目前只能是我的一个猜想，因为从数学上还必须加以证明。这个问题，其实过去我已经多次向身边的不少人求证，也许是我表述不清楚，也许是没有遇见对这个问题感兴趣的人，总而言之，十几年过去了，这个我自称为“杨氏猜想”的问题，一直没有答案。有时我也想，也许因为我读书少，不知道这个问题已经有人提出而且有了解答，现在提出来，会不会显得很“菜鸟”？尽管心中有这个疑虑，但是因为孙院士很平易近人，我也就没想太多，把问题就这样抛给了他。

当时他给我的回话是：“可以查看一下拓扑学的书籍，或咨询几何学家。”说实话，当时我只是想把这个问题，当成饭后茶余与孙院士聊天的一个话题，因为这也不是什么“哥德巴赫猜想”之类的世界难题，也许他也在今天聊完后,也就不再放在心上了。
没想到，当天晚上孙院士就把我提出的这个问题发在他建的“数学力学MATH.MECH”群里，足见孙院士对我提出的这个问题还是很上心的。当时也没见群里有什么反应，毕竟这个群里主要都是力学领域的专家，对这个纯数学问题不会太在意。我当时还给孙院士说，我这么一个“菜鸟”问题，不值得惊动群里的大牛们，后来的两天，群里的确也没人回应这个帖子，我当时以为这事就这样过去了。直到后来我才知道，这个问题引起了群里的王大钧老师（我和王老师同在中国力学学会结构动力学专业委员会，王老师也是我敬佩的力学前辈）的兴趣，并把这个问题转给了我国数学界知名的拓扑学专家姜伯驹院士。
又是一个没想到，1月18日下午，王大钧老师（王老师）在群里贴出了一个聊天记录，里面有姜伯驹院士的一个简单证明，并附上一个手画的草图，并说明了用平面几何简单证明的思路。孙院士也把这个聊天记录转发给我，并告诉我：“国内最知名拓扑学家给您的解答。”
说实话，那一刻我被感动到了，我给孙院士说：“本来是我一个菜鸟级的猜想，和您交流一下，没想到惊动国内最知名拓扑学家，我真的有点诚惶诚恐。”同时，我仍然纠结于我提出的这个问题“菜”不“菜”？》
孙院士纠正我说：“姜院士都写了证明，（如果“菜”的话），否则他不会花时间的。”
果然，在后来看到孙院士转给我的姜院士向王大钧老师要我电子邮箱的微信聊天里，姜院士说“一个有趣的提问，解答似乎没有超出中学知识的范围。。。”
再一个让我没有想到的是，1月22日，王大钧老师在群里转发了姜伯驹院士正式的证明文档，我再一次被姜院士这种严谨的治学精神所感动，特别是，对于这样一个“有趣，但没有超出中学知识范围的提问”，看到一位拓扑学领域的最知名院士级别的学者，给我这样一个素未蒙面的晚辈，亲自绘图、把通俗的提问，转换为严格的数学问题，然后一步一步给出证明，老一辈学者平易近人、诲人不倦的大家风范，跃然纸上。
更没有想到的是，今天下午，我收到姜伯驹院士发来的邮件，他发给我了他第三次修改后的证明文档。在邮件中，他也告诉我：“我在考虑分享到网上去，找一个中学生能看到的网站。当然要包含问题来源与图片。所以先与您联系，听听您的意见。”
并且，姜院士也告诉我：“这20年来中学教学改革把平面几何打入冷宫，砍得面目全非。这是我想写下来的动机。当你没有工具，赤手空拳的时候，平面几何还是很有用的。”
毫无疑问，我再次被姜院士关心基础教育的拳拳之心所打动，一位全国最知名的拓扑学院士，仍然关心着中学的数学教学；在发现一个有趣的提问后，仍然想着尽一己之力，分享给中学生看到， 要让中学生懂得，“当你没有工具，赤手空拳的时候，平面几何还是很有用的。” 此外，即使整个证明是姜院士亲自做出的，但他在想分享到网上去时，依然考虑到“要包含问题来源与图片”，既原汁原味，又尊重了问题提出人的“版权”。
姜院士这种高尚的学者风范，再一次教育了我。
在这个故事中，我敬佩的王大钧教授、孙博华院士两位大师级学者，为这样一个基础问题的解答，热心牵线搭桥，无不体现出老一辈学者们对学问的热爱，对后学的呵护有加。
写完这个故事，我抬头看看阳光灿烂的窗外，虽然是寒假刚开始，我却已经感受到了春天的暖意。朋友，您感受到了吗？
谨以此故事，表达我对三位先生的崇高敬意！
2021.1.26

于西工大友谊校区
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姜伯驹院士的证明文档
注:
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