【2021中考微专题】如何求两线段差最值问题
(1)如图①，点P为直线l上一个动点，点A、B是直线外同侧的两个定点，连接PAPB、AB.若AB=2,则PA-PB的最大值为______;
(2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，对角线AC⊥BD，垂足为点O. OA=2OC，点E为OC中点，点F在AB上，且BF=3AF，点P为BD上一动点，连接PE、PF,若AC=6,求PF-PE的最大值.
(3)如图③，在△ABC中，AB=AC=3，∠BAC=150°，点P为平面内一动点，连接PA、PB、PC,若PA=2,求PB-PC的最大值.
三角形三边关系
在△ABP中PA-PB≤AB，当且仅当点P与点C重合时，即A、B、P三点共线时PA-PB=AB（此时PA-PB有最大值为定边AB长）。
模型解读
第（1）问是利用三角形三边关系求线段差的最大值，三角形的三个顶点是两定一动，三边是一定两动，则当动点在某个图形上运动，当该动点运动至两定点延长线上时，两动边之差的最大值就等于其中定边长。
作点E关于BD的对称点E'，连接PE'，由对称性知PE=PE'，故问题转化为求PF-PE'的最大值，根据（1）中的最值模型FE'即为所求的最大值。
动点在直线上，求线段差的最大值，先对称异侧化同侧，在连接另一个定点与对称点，延长与动点所在直线相交，其交点即为所求最大值时动点的位置。
第（3）问中由AP=2，可知点P在以A为圆心2为半径的圆上，此时由动点在直线上变为动点在圆上，两动线段PB和PC与定线段PA不构成三角形，可依托等角∠BAC=150°的等腰三角形，可通过旋转变换。
作∠P'AP=150°且AP=AP'，则易证△ABP≌△ACP'，则PB=P'C，故求PB-PC的最大值可转化为求PC'-PC的最大值，在△P'PC中PB-PC=P'C-PC≤P'P，故PB-PC的最大值等于PP'长，根据∠PAP'=150°，PA=P'A，解三角形可求P'P，故问题得解。
此题通过构造旋转全等，将目标两线段通过旋转变换转化到有一边确定的三角形中，根据三角形三边关系即可求解，其关键是依托顶角为150°的等腰三角形构造旋转全等，进行转化，利用三角形三边关系求最值。
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