【最值系列】主从联动破解线段最值

《怎样解题》一书的作者匈牙利数学家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。做题不在多而在精，题要解得精彩；对待解题的思想方法要对头，要通过做题，深刻理解概念，扎实掌握基本知识，学会运筹帷幄，纵横捭阖，使自己的思维水平不断提升，高屋建瓴；只有这样，面对千变万化、形式各异的题目时，才能应对自如，使一道道难题迎刃而解。也就是说，我们在解题时应力求做到一题多解，多解归一，多题归一，用“动”的观点分析问题，尽可能地拓宽思路，训练自己敏锐的思维，做到“八方联系，浑然一体”，最终达到“漫江碧透，鱼翔浅底”的境界。

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主从联动最值问题

YUAN TI CHENG XIAN

原题呈现

如图，PB为圆O的直径，点C在AB的延长线上，AB=4，BC=2，点P是圆O上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC上方作Rt△PCD，使∠DCP=60°，连接OD，求OD长度的最大值.

2021 · 数学研题 最值问题

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思路切入分析

简析：

1、动点轨迹追踪

点C为定点，P为主动点，点D为从动点，将CP绕点C顺时针旋转60°，再按照2:1缩放得到CD，因为点P和点D是联动的，主动点P的轨迹是圆，则从动点D的轨迹也是圆.

2、确定动点D的轨迹

连接主动点P与定点C，将CP绕点C顺时针旋转60°，再按照2:1缩放得到CD，故连接圆心O与定点C，并将OC绕点C顺时针旋转60°，再按照2:1缩放得到CE，则E即为点D所在圆的圆心.

3、点圆最值求解

当带OD过圆心E时DO有最大值，此时OD的长为OE+DE=2√3+1.故OD的最大值为2√3+1.

转化间接求最值

2021 · 数学研题 最值问题

YUAN TI CHENG XIAN

原题呈现

如图：在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点O为AB的中点，点P为AD边上一动点，连接OP，在OP边右上方做等腰三角形，使MP=MO，且∠PMO=120°，连接BM，求BM最小值？

简析：

OP绕点O顺时针旋转30°并按√3：1缩放得到OM，由点P在线段上运动，则点M的运动轨迹也是一条线段，

以AO为底在其上方构造定角为120°的等腰三角形，连接MN，已知△PAO∽△MNO，则∠MNO=∠PAO=90°，ON为定边，∠MNO=90°，则点M在线段上运动，

过点B作BG⊥MN，当点M与点G重时，B有最小值.