如何利用二次函数求满足条件的点坐标？这方法超管用！

二次函数是数学中考的重要考点，今天老师就例题详细解析利用几何图形的性质求解满足条件的二次函数图像上的点坐标的方法，希望能给初三学生的数学复习带来帮助。

例题

如图，已知二次函数图像的顶点为原点O，经过点（1,1/4），点F(0,1)在y轴上，直线y=-1与y轴交于点H。

（1）若P是二次函数图像上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=-1交于点M，求证：FM平分∠OFP；

（2）当△FPM是等边三角形时，求点P的坐标。

1、证明：FM平分∠OFP

设二次函数解析式为y=ax^2+bx+c

根据题目中的条件：二次函数y=ax^2+bx+c的图像顶点为原点，则b=0，c=0，即二次函数解析式为y=ax^2；

根据题目中的条件：二次函数y=ax^2的图像经过点（1,1/4），则a=1/4，即二次函数解析式为y=1/4x^2；

根据题目中的条件：PM⊥x轴，y轴⊥x轴，则PM∥y轴；

根据平行线的性质和结论：PM∥y轴，则∠OFM=∠FMP；

设点P的坐标为（p,1/4p^2)

根据结论：点P的坐标为（p,1/4p^2)，PM⊥直线y=-1于点M，则PM=1/4p^2+1；

根据结论：P（p,1/4p^2)，F(0,1)，则PF^2=p^2+(1/4p^2-1)^2=(1/4p^2+1)^2，即PF=1/4p^2+1；

根据结论：PM=1/4p^2+1，PF=1/4p^2+1，则PF=PM；

根据等边对等角性质和结论：PF=PM，则∠MFP=∠FMP；

根据结论：∠OFM=∠FMP，∠MFP=∠FMP，则∠OFM=∠MFP，即FM平分∠OFP。

2、求点P的坐标

根据题目中的条件和等边三角形性质：△FPM是等边三角形，则∠FMP=60°，MF=PM；

根据题目中的条件和结论：PM⊥直线y=-1于点M，∠FMP=60°，则∠FMH=30°；

根据直角三角形的性质和结论：∠FHM=90°，∠FMH=30°，则MF=2FH；

根据结论：F(0,1)，H(0,-1)，则FH=2；

根据结论：FH=2，MF=2FH，则MF=4；

根据结论：MF=PM，MF=4，PM=1/4p^2+1，则1/4p^2+1=4，可求得p=2√3或-2√3；

所以，点P的坐标为（2√3，3）或（-2√3，3）。

解决本题的关键是根据平行线的性质、等腰三角形性质和直角三角形性质，得到线段和角度间的数量关系，再根据线段长度与点坐标之间的关系，就可以求得题目需要的值。