2021年法语国家数学奥林匹克初级组题3的解答

平面上的所有点都被染上了红色或者蓝色之一.证明以下结论至少有一个成立：

·        存在两个距离为1的红点；

·        存在四个蓝点B1，B2，B3，B4，满足对任意1≦i≦4、1≦j≦4，点Bi、Bj之间的距离为|i-j|.

分析与证明:结论2可以描述为存在共线的连续4点，其颜色为蓝色，连续的意思是间距为1.

反设结论不成立.则平面必然存在红点，否则结论2成立.

取一个红R1，以R1为圆心，半径为1作一个圆，则由于结论1不成立，圆上所有点为蓝点。取一个圆内接正六边形如图1所示。

以正六边形三组对边扩展为正三角形RST如图2所示。则R、S、T三点中至少有两个红点，否则RT、TS、SR中至少有一条边上的4点为连续蓝点。不妨设T、S为红点，R为蓝点。延长TR、SR各一个单位到N、M（如图2）,则M、N不能为蓝点，否则存在连续4个蓝点，也不能都为红点，否则MN之间距离为1，存在两个距离为1的红点。故R、S、T三点都为红点。

由于一开始所作的圆上都为蓝点，任意旋转正六边形一个角度α，则产生一个正三角形R’S’T’,由α的任意性知道⊿RST的外接圆上的点都为红色，这个外接圆上当然存在距离为1的点，故反设不成立。两个结论中必有一个成立,得证！

感谢久霖竞赛田的龙崎钢老师对本题的翻译工作！