趣谈概率 | 我们的直觉，往往和真实的概率大相径庭
这本书的全名是：趣谈概率——从掷骰子到阿尔法狗。这本书的作者张天蓉，是一位女士，美国德州奥斯丁大学理论物理博士，虽然她的知识渊博，但她出版的书籍都深入浅出，哪怕是小白也特别容易看懂。我将用两周的时间，为大家领读这本书。
概率论诞生于17世纪，源于一场赌博。发明概率论的法国的数学家帕斯卡，首先我们科普一下帕斯卡这个人。帕斯卡是一个神童，12岁的时候就发现了几何学里边的一个规律，三角形的三个角之和等于180度，如果你对数学有研究的就知道，这个正是在欧几里得的《几何原本》证明过的第32条定理。在16岁的时候，帕斯卡创作了论文《圆锥曲线专论》，证明了：圆锥内曲线内接六边形，它的三对底边延长线的交点，在一条直线上。这个就是帕斯卡定理。当时的专家学者感觉太不可思议了，是不是真的他证明的啊？甚至还怀疑是不是他父亲代写的？
除了对数学方面的成就，帕斯卡在物理领域也有很大的贡献，他用水银柱测量气压，水银柱越高，说明气压越高。经过无数次实验，证实了水银柱的高度随着海拔的高度减少。后人为了纪念帕斯卡，就把气压的单位用“帕”表示。说句题外话，我当年做软件开发的时候，接触过一门编程语言，是Pascal，也是以帕斯卡的名字命名的编程语言，由此可见帕斯卡在历史上的地位多高。其实，这些都不是本书的重点，帕斯卡最伟大的地方，就是创立了概率论。概率论怎么诞生的呢？我们就从一场贵族的赌博游戏说起。
1 赌博中途退赛，如何分钱？
当年有一位贵族，特别喜欢赌博，尤其是掷骰子的游戏。当然，他在玩的过程中，也会思考一些相关的数学问题。1654年，他向帕斯卡请教一个亲身经历的分钱问题。这个问题大概是这样的：贵族约了一个赌友各自拿出10元出来对赌，谁先赢了就可以把20元全部拿走。他们怎么对赌呢？比如说是抛硬币，抛到正面的就是贵族赢1分，反面的就是赌友赢1分，谁先拿到10分的，就赢得全部赌金。问题来了，当对赌进行到中途，贵族得到8分，而赌友也获得7分的时候，贵族有点急事要出去处理，这场赌博就不能进行下去了，此时此刻，这20元应该怎么分？
如果说，把这20元都物归原主，那么贵族肯定不干，因为他都赢了8分，还有2分就胜利了；如果说就判贵族赢吧，那赌友肯定不干，他也赢了7分，虽然比贵族少了1分，但还没到最后，谁说他一定会输呢？如何分钱，才算是合理呢？
前面得了多少分，这个已经是确定性的了，如何分钱是取决于后面得分的可能性，所以要重点关注后边几局，要是贵族再得2分，就赢得赌局；反之要是赌友再得3分，就是他赢。只要再比4次，就可以分出胜负。所以，帕斯卡所有可能发生的情况，都排列组合一遍，我们把贵族看作是甲方，而赌友看作是乙方，一共有16种情况，能够让甲方赢的有11种，而让乙方赢的有5种。
这也就说明，贵族最终赢的胜利的概率是11/16，而赌友赢的概率是5/16，再把这个赌金重新乘以这个概率，我们可以得出；贵族应该拿回13.75元，而赌友拿回剩下的6.25元，问题解决了！
2 真实的概率，可能跟我们的直觉大相径庭
在年初的时候，在某个小区做了全员核酸检测，张三“幸运地”检测出了阳性，这个结果把他吓了一跳，到底张三有没有中招呢？我不知道核酸检测的准确率是多少，姑且假定为“1%的假阳性率，1%的假阴性率”，也就是说，本来是阳性，检测出阴性的概率是1%，或者本来是阴性，检测出阳性的概率是1%。那么，对于中招的人来说，99%真的是阳性，而没有中招的人，也有可能1%是假阳性。所以，张三被拉去隔离了。
在隔离的时候，张三跟医生交谈，内心害怕得要命。他恰好遇到一个懂数学的医生，告诉他：怕啥呢，这种好事没这么容易轮到你！张三说：“不是啊，检测出来的结果，不是99%的概率正确的吗？”医生笑了笑，说道：别忘了，真正被感染的人，也许1000个只有一个，所以你中招的概率，并不是99%。那么，到底是多少呢？
我们从概率论去分析，因为核酸检测的误报率是1%，所以说在1000人里边，有10个是误报的，只有1个是真正的中招（真阳性只有1个）。所以，11个人里边，只有1个是真正的阳性，所以张三中招的概率，不是99%，而是1/11=0.09%！这个过程怎么推算的呢？考虑到大多数人看公式不一定能看懂，你就记住这个答案可以了。总之，因为真正是有病的人概率很小的，哪怕它检测出来99%准确，其实中招的概率也并不大。
如果说，核酸检测离我们太远，不足以说明真实的概率，跟我们的直觉有很大的差异，那么再看看我们常见的情况。比如说抛硬币，要是你连续5次抛出的都是正面，那么你可以告诉我，第6次是正面还是反面呢？这也许就有两种声音：第一种，既然前面这么多次都是正面，那么还是正面也很合理啊；第二种，都已经出了这么多次正面了，下一次是不是应该来一次反面呢？但是，我想说的是，这两个想法都是错的！为什么呢？假如没有前面5次抛硬币的结果，你觉得是正面还是反面呢？这就不确定了！只要这个硬币没有做过手脚，每一次抛出正反两面出现的概率，都是50%，跟上一次的结果并没有任何关系。
只要抛硬币的次数足够多，正反两面出现的概率，都会出现50%！问题来了，是不是我们可以认为，“风水轮流转”呢？有很多人研究彩票的时候，都会很认真分析每一期开出的数字，试图从中找到规律，比如说，某个冷门的数字好像很久没有开过奖了，这一期会不会开它呢？但我想要说的是，研究彩票规律，都是妥妥的无用功！你可以认为，每一期数字出现的概率是相等的，但要多少期才会出现对等的情形呢？答案是——无穷大！你想要通过“风水轮流转”来实现中奖的目标，你要么就是有无穷多的钱，要么就是有无穷大的寿命，而且彩票公司还不能破产。
古语有说“善有善报恶有恶报”，这句话正确吗？如果单纯是从古典概率来说，这绝对是扯淡。某个人做了好事，但并没有记载下来，所以做了跟没做，结果都是一样的；同样道理，一个人做了坑蒙拐骗的事情，只要没有被人逮到，换了一个环境，同样还是会得逞。做好事并没有感动上天，做坏事也并没有人会知晓，在这种情况下，其实并不成立。当然，现在是大数据的时代，你做过的事情，不论是好事或者坏事，都会记录下来评判一个人，就需要用到贝叶斯定律，这个我们再下一篇会讲到。
3 正态分布：印在钞票上的函数图形
如果说，有一张钞票，印有函数的图像，你相信吗？德国的10马克钞票，就印有高斯的头像，以及他的伟大发明，正态分布的函数图形，由此可见，正态分布的价值有多大。我们观察一下这个函数图像，中间大，两边小。这意味着什么呢？
我们还是拿抛硬币的例子来说吧，假如你抛硬币抛4次，会有多少次的正面呢？这就有16种组合，其中一个正面都没有的，只有1种组合；全部都是正面的，也是只有1种组合；出现一个正面的，或者三个正面的，分别有4种组合；出现2个正面的情况最多，有6种组合。我们把这个组合图形画出来，是不是就是一个正态分布图像，中间大，两边小？
说了这么多，到底正态分布跟我们生活有什么关系呢？其实关系大着呢！比如很多人吃自助餐，总想把人家的自助餐厅吃垮。到底能不能把人家的餐厅吃垮呢？为了简化期间，我就只假设自助餐的价格是每个人88元，它是根据什么来定这个价格的呢？作为餐饮行业，保守估计，好歹也得赚一半吧，那它的成本是每个人44元这样子。在配食材之前，它就会用到正态分布，中间的那个峰值就是44元，这就是一个均值，至少有68%的人，都在44元这个范围内波动。你想要吃垮自助餐，就得吃得超过这个成本价。虽然说，偶尔会有几个人能够吃超这个成本，也顶多是在68%~95%这个范围内波动。
也就是说，你想要吃垮自助餐，除非你的食量惊人，超过95%以上的人，要不然吃垮只是一个传说。你能确定自己的食量这么拔尖吗？哪怕偶尔有这么几个像你这样有256G的胃口，但毕竟占5%左右，对于自助餐厅而言，根本是无伤大雅。
从另一个方面看，自助餐厅的定价也是很讲究的，如何能够实现盈利呢？最重要的，就是人多，毕竟食材的成本都是固定的，越多人来付餐费，钱就赚得越多。所以，他们价格不能定得太高，因为太高的话，来就餐的人就少了；如果说定价低了呢，跟这个平均食量不匹配，那真的就会有大量的大胃王涌入，这回真的是会被吃垮的。所以说，要是你做自助餐的老板，也得好好琢磨一下正态分布的模型。
好了，今天我们就先聊到这里，主要是谈论了相互独立的概率；但是，每一件事情往往是有关联的，这就要用到贝叶斯定理。关于这个话题，我们下一篇再谈。我是@狂人先生，我们下一篇不见不散！