重庆市育才中学高2023届第12题：指数型复合函数

重庆·云师堂

我们总是对现有的东西不忍放弃，包括认知方式、学习模式以及那些习以为常的思维逻辑。大脑也喜欢偷懒，面对问题的第一反应是搜索曾经的习惯，让你无法自拔。如果要有所长进，就必须与过去的自己一刀两段。只有被逼到了悬崖的边缘，才能放弃幻想，去追求另一片蓝天。

道理我都懂，可再多的道理也无济于事。

道理从来就不是拿来懂的，而是拿来悟的。有人悟成了诗，有人悟成了歌，有人演绎成了故事，也有人活成了无可奈何……

1  围观

一叶障目，抑或胸有成竹

不要以为12题就会很难，这是多选，得分比第8题更容易。事实上，大部分学生都拿到了3分。

本题以指数型复合函数为载体，考查单调性、奇偶性、值域以及图象，是深刻理解函数的重要模型。对高一的学生，没那么多花里胡哨的技巧，平凡朴实的解法照样能打动人心。

2  套路

手足无措，抑或从容不迫

通过奇偶性即可判断函数图象的对称，通过分离常数即可求得函数的值域，通过复合函数的单调性即可判定函数的增减。方法常规而基础，过程清晰而明了，你无法拒绝。

另外，根据上述性质不难作出函数的图象：函数有界，且y=1与y=-1是其两条水平渐近线，当x≥0时，增长速度越来越缓。

判断结论错误只需一个反例，但判断正确则需要严格的证明。这里因为是多选题，对比选项便可直接断定B正确。

求值域，这里采用反解法，无需求出反函数，借助指数函数的有界性即可。反解时一定要注意恒等变形，避免扩大范围。

对于较复杂的函数，定义法判断单调性往往比较繁琐（难点在于变形定号），但这并非说定义法一无是处，在抽象函数的大题中，只能用定义法。

法3便是“抽象问题具体化”，毫不留情，直击要害。

需要强调的是，具体模型不一定唯一，也并非所有抽象问题都有具体模型（常见模型见脑洞）。另外，这种方法用来做大题是不严谨的，不过先判定结论，再写过程是不错的骗分策略。

3  脑洞

浮光掠影，抑或醍醐灌顶

1.      指数型复合函数：

2.复合函数的单调性：

复合函数的单调性可简记为：同增异减。

4  操作

形同陌路，抑或一见如故