陈省身：广义相对论和微分几何
在 1854 年的一篇历史性的文章《论几何学的基础假设》中，黎曼将高斯的工作推广到高维，并打下了黎曼几何的基础。在文章中他首先引进n维流形的概念其中的点用n个实数作为坐标来描述，这是从高斯以来的巨大的一步，因为高斯的弯曲曲面是放在三维欧氏空间中的，而不是内在的，爱因斯坦对数学的看法是纯正的，他难于接受黎曼这样的概念，从 1908 年狭义相对论到 1915 年广义相对论，花了他七年功夫，他举出下面的原因:“为什么还需要七年才能建立广义相对论呢?主要原因在于不那么容易从坐标必须有一个直接的尺度意义这一概念中解脱出来.”
黎曼几何中的基本问题是微分形式的问题:在两个不同坐标系与中给定两个二次微分形式:
求存在坐标变换
克莱茵的厄尔朗根纲领与狭义相对论完美地相配合，狭义相对论中的一个原理是洛伦茨群下场方程的不变性，这导致了这位处于世纪转折时期最有影响的德国数学家克莱茵成为狭义相对论最早的支持者之一，洛伦茨结构在相对论中起了基本的作用。它还有几何学的解释，当我们研究空间中球的几何时，将球变为球的所有接触变换构成一个15 参数的李群，而把平面变为平面的变换构成一个 10 参数的子群，后者与4 个变量的洛伦茨群同构，所导致的几何学就是拉盖尔的球几何学。
二十世纪初，整体微分几何处于摇篮时期。1909年，马科帕迪阿亚(Mukhopadhyaya)阐述了四顶点定理，范戴克(van Dyck)在 1888 年从高斯-邦尼特 公式导出拓扑的结论:一个闭的有向曲面的高斯曲率的积分等于，这里是曲面的欧拉示性数，希尔伯特以独特的预见在 1901 年写了关于常数高斯曲率的曲面一文，在文中他给出了利普曼定理即具有常数高斯曲率的闭曲面必为球的一个新证明，还证明了定理(希尔伯特定理);具负常数曲率的完备曲面不能到处正则，在希尔伯特的辅导下，佐尔(Zoll)在 1903 年发现，非球的旋转闭曲面的所有测地线都是闭的，在动力学的推动下，庞加莱与 G.D.伯克霍夫(Birkhol)证明了在凸曲面上存在闭测地线。
1.非对称张量(见《相对论的意义》，第 5版，1955，附录Ⅱ);
2，具有埃尔米特结构的四维复空间;
3，比黎曼空间更一般的度量空间。
一般度量空间的几何为 K.门杰(Menger)所建立与研究，对此，爱因斯坦的朋友 K.哥德尔(Godel)给出重要贡献，在情况1中，唯一地分解为对称与反对称的两部分，如果前者非退化，则结构等价于一个具有二次外微分形式的拟黎曼结构，按照的对称部分的符号是++++或+++-，这个拟黎曼结构是黎曼式的或是洛伦茨式的，情况2是密切地与复代数流形及多复变函数有关，在最近数十年中，它们是大大地发展着的数学领域。
很自然地，要把一给定瞬时的数据记录成“数据集”数据集是一个超曲面，其上到处有类时的法线(因而诱导尺度为黎曼尺度)，这样四维流形的超曲面理论(它是古典曲面论的直接推广)在广义相对论中起了一定的作用，的局部的不变量由两个二次微分形式即第一、第二基本形式给出，第二基本形式系数的迹称为平均曲率,平均曲率为零是极大超曲面的特征。另一方面,上的诱导尺度有一个数量曲率，所有这些量均由高斯-柯达齐(Codazzi)方程联系，由爱因斯坦场方程推出，质量密度及动量密度是第一、二基本形式系数及其协变导数的组合，因为动量密度必须不超过质量密度，我们有
在极大超曲面上，数量曲率是非负的。
如果对某些紧致集，包含有限个连通分支，使得每个微分同胚于中一紧致集的余集，并且它的尺度渐近于尺度
式中r是到原点的距离，那末相应的数据集称为渐近平坦的，在许瓦兹希尔德尺度的情况，符合于许瓦兹希尔德质量，因而称为的总质量，正质量猜 测为:对于一个渐近平坦的数据集，每个连通分支有总质量，并且如果一个，则这个数据集是平坦的(即诱导黎曼尺度是平坦的，且第二基本形式是0)，这个猜测在广义相对论中具有根本的重要性，由于物理上的理由，爱因斯坦假定它是正确的.
在是极大超曲面的假定下，1978年，R.舍恩(Schoen)与丘成桐最一般地证明了它，这个工作的全部经过是相对论学家与微分几何学家接触与合作的一个完美的例子，1973年在斯坦福大学举行的美国数学会微分几何暑期研究会上，R.格罗赫(Geroch)被邀请作一系列广义相对论的报告，正质量猜测显然是未解决的问题之一，为使它的陈述简单化，格罗赫列出一些有引导性的猜测，其中一个如下:“在三维实数空间中，考察一个在紧致集之外是平坦的黎曼尺度，如果数量曲率，则这尺度是平坦的.”将这紧致集围在一个大盒子中并把相对两面看作恒等，J.卡兹登(Kazdan)与F.沃纳(Warner)把猜测改写如下“数量曲率的三维环面上的黎曼尺度是平 坦 的.格罗赫指出:“广泛地觉察到，证明了这些特殊情况中的几个，就可以推广到整个猜测的证明.”
格罗赫的这个猜测落到微分几何的王国中;舍恩与丘成桐首先证明了它，证明的思想是利用闭的极小曲面，事实上，从面积的第二变分的公式可见，在一个具正数量曲率的三维紧致定向黎曼流形中，一个具有正亏格的闭极小曲面是不稳定的，就是说在微扰下它的面积还会变小，另一方面，三维环面有一个大的基本群(同构于)，并且它的第二个贝蒂数等于3。这些拓扑性质应导出在非零的闭曲面同伦类中存在一个具有最小面积的闭正则曲面，这是下述结果的推广:在紧致黎曼流形上，每个非零的闭曲线同伦类中有一条最短的光滑闭测地线，对于极小曲面，相应结果的证明当然更为微妙，舍恩与丘成桐接着就证明了极大超曲面的正质量猜测，稍后这个结果被推广到高维去。
极小曲面的早期研究集中于普拉托(Plateau)问题:给定中一闭曲线，要找出它所围成的面积最小的曲面，只是近年来，注意力才指向研究一个给定流形(例如n维欧氏空间或n维单位球)中的闭的或完备的极小曲面。这些研究推广了闭测地线的性质，它们在黎曼流形的几何学与拓扑学中已处于重要的地位，闭的与完备的极小曲面，特别是正则曲面，必然是一个更丰富的甚至更有趣的对象，将极大超曲面取为数据集是很自然的。最近，J.萨克斯(Sachs)和K.乌伦贝克(Uhlenbeck)证明了:一个紧致单连通的黎曼流形中总可浸入一个极小的二维球。
正数量曲率流形的基本问题是:怎么样的紧致流形可以有一个具正数量曲率的黎曼尺度?对这个问题的兴趣的提高是由于维数的紧致流形均可以具有负数量曲率的黎曼尺度，这个结果的证明可以分成两部分:第一，流形可以给定一个黎曼尺度,它的全数量曲率(即数量曲率的积分).第二，后者可以共形变形为具负常数的数量曲率，另一方面，由于研究调和旋量，A.利希尼罗威兹(Lichnerowicz)在1963 年证明了，如果一个紧致旋量流形有一个数量曲率是正的黎曼尺度，则它的月亏格等于零，舍恩-丘成桐的工作证明:三维环面不能有正数量曲率的黎曼尺度，对n维环面，也已被证明有同样的结论(M.格罗莫夫(Gromov)，B.劳森(Lawson)，R，舍恩，丘成桐).在广义相对论的推动下，对能带有正数量曲率黎曼尺度的所有紧致流形，这些作者已接近于给出它们一个完全的拓扑的描述。
1918 年，H.韦尔在他的《引力和电》一文中提出了规范场理论，其思想是运用一个二次微分形式及-个线性微分形式来定义:
但是这两个形式还容许规范变换:
这里是电磁势，它的外微分是电磁场强度或法拉第(因为法拉第对电磁学的重要贡献，他的名字就用作电磁场强度)，这是统一场论最初的尝试，爱因斯坦反对的不定性，但对韦尔的建议的深刻与大胆表示了赞赏。
如果我们将韦尔的理论解释为基于洛伦茨流形上的圆丛的几何学，则当时及其后的所有反对意见都会消失，于是容许规范变换的形式可以视为在圆从上所定义的联络，并且保持不变，这就消除了爱因斯坦的反对意见。
规范场理论的数学基础在于向量丛及其上的联络，纤维丛或纤维空间的概念具有整体的特性，由托扑而产生，最初它是寻找流形的新例子的一个尝试(H.霍特林(Hotelling)，1925，H.塞弗特(Scifert)，1932)，纤维空间是局部的乘积空间而不是整体的乘积空间，这种区别的存在是-个奥妙的数学事实，-直到发现了对纤维从作出区别的不变量，甚至于证明了整体存在着非平凡的纤维丛时，纤维丛理论才得到发展，最早的这种不变量是H.惠特尼(Whitney)及E施蒂费尔(Stiefel)在1935年引进的示性类，纤维从的拓扑研究放弃了代数结构，但是在应用上，具有线性结构的向量丛却更为有用，粗糙地说，流形M上的一个向量丛:是一族向量空间，它们由所参数化，使得从局部来看它是一个乘积.对应于的向量空间称为点的纤维，例子是M的切丛以及联系在其上的所有的张量丛，一个更平凡的丛是乘积丛,其中V是一个固定的向量空间，而(x,V)，,是在点的纤维，一个向量丛被称为外的或复的是按照纤维是实的或复的向量空间而定，它的维数就是纤维的维数。
对于每点，连续且光滑地附上纤维。的一点，称为丛E的一个截面。换言之，截面是一个连续映照s:M→E，使得是恒等映照。这个概念是向量值函数与切向量场的一个自然的推广，为了对s进行微分，我们需要在E上有一个“联络”，这样就能定义协变导数(X是M上的一个向量场)，它是E上的一个新的截面，协变微分一般是不可交换的，即对M的两个向量场X,Y，对这个不可交换性加以“度量”，给出了联络的曲率，这是第二节中所描述的非和乐的几何概念的一个解析的形态，根据 E，嘉当，将曲率当为矩阵值的二次外微分形式是重要的，它的迹是一个闭的2-形式。更一般的，它的所有 k阶主子式之和是一个闭的形式，它被称为示性形式(按照丛是实的或复的分别是庞特里亚金(Pon trjagin)形式或陈省身形式)，根据德勒姆(de Rham)理论，次的示性形式决定一个维数为的上同调类，因而称为示性类，示性形式依赖于联络，但是示性类只依赖于丛，它们是丛上最简单的整体不变量，向量丛的非平凡性需要通过协变微分来认识，它们的不可换性解释了最初的整体不变量，这一定是自然界的作用，示性类的这样的导出强调了它的局部性质，且示性形式比示性类包含更多的信息，当M是一 个有定向的紧致流形时，最高维数的示性类(即其维数等于 M的维数)的积分给出了示性数。当它是一个整数时，被称为一个拓扑的量子数。
在研究同位旋量时，杨振宁-米尔斯所用的本质上是 SU(2)丛的一个联络，这是非阿贝尔规范场理论的第一个实例，从联络可以定义“作用量”，四维欧氏空间上的SU(2)丛中使作用量取最小值的联络被称为瞬子，它的曲率有一个简单的表达式，称为自对偶关系，从而瞬子是杨-米尔斯方程的自对 偶 解，当空间紧致化为四维球时，SU(2)丛除一个同松外由一个拓扑量子数k(k是整数)决定，阿蒂亚、希钦和辛格证明，对给定的k>0，上曲率自对偶的联络的集合(称为模或参数空间)是一光滑流形，其维数为.用物理术语来说，这就是拓扑量子数 k>0的瞬子空间的维数。
阿蒂亚和瓦德(Ward)注意到，自对偶的杨-米尔斯场可以很好地纳入彭罗斯(Penrose)的“挠量”方案他们把求所有自对偶解的问题转化为代数 几 何 的问题:在复三维射影空间中全纯向量丛的分类问题，这个问题已由K.巴思(Barth),G.霍罗克斯(Horrocks)等人非常接近地研究过了，用了他们的结果，可以最终地找出所有自对偶数，事实上，回到了物理，这些数学结果可以翻译成物理学家感到满意的显式公式。
瞬子通过以下的结果表明它和爱因斯坦的关系，群 SO(4)局部同构于 SU(2)xSU(2)，所以四维黎曼流形 M上的黎曼度量通过投影给出一个SU(2)丛的联络，M为爱因斯坦流形的充要条件是这些联络为自对偶或反自对偶(依投影的方法而区分)。
