中考数学压轴题分析：矩形与十字模型

本文内容选自2021年衢州中考数学压轴题，题目涉及以正方形与矩形为背景的十字模型，本质考查全等与相似有关的知识。

---

【中考真题】

（2021·衢州）【推理】
如图1，在正方形中，点是上一动点，将正方形沿着折叠，点落在点处，连结，，延长交于点．
（1）求证：．
【运用】
（2）如图2，在【推理】条件下，延长交于点．若，，求线段的长．
【拓展】
（3）将正方形改成矩形，同样沿着折叠，连结，延长，交直线于，两点，若，，求的值（用含的代数式表示）．

---

【分析】

（1）根据折叠得到全等，进而得到对应边角的关系。再证明另外两个三角形全等。是典型的正方形十字模型，难度不大。

（2）有了（1）中的基础，可以得到BC、BF相等，且GH与FH也相等。设DH=4x，然后建立等量关系即可得到DH与FH的长。连接EH，根据勾股定理可以得到EH的平方，进而得到DE的值。

（3）有了（2）的铺垫，（3）完全可以参考上面的解答过程，只是把全等边变成了相似。但是题目中BC=BF，GH=FH的等量关系是不变的。可以用k和CE表示出DG的长，进而得到DH、FH与CE的关系，再利用勾股定理可以表示出DE，进而得到DE与EC的比值。

本题的难点在于题目中矩形的形状不确定，且CE的长度也不确定，因此需要进行分类讨论。如点H在AD上或在AD的延长线上。但是求法一致。

---

【答案】（1）证明：如图1中，

是由折叠得到，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
．

（2）如图2中，连接．

，
，
由折叠可知，，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
或（舍弃），
．

（3）如图3中，连接．

由题意，可以假设，，设．
①当点在点的左侧时，
，
，
由折叠可知，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，

，
，
或（舍弃），
．
②当点在点的右侧时，如图4中，