四种数学思想方法在线段中的运用

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四种数学思想方法在线段中的运用

【方法技巧】 

1.运用整体思想计算线段的长或求定值，注意设字母参数x，并用x表示有关线段.

2．运用方程思想计算线段的长，巧设未知数，一般设和其它多数线段相关的线段为x.

3.运用分类讨论思想求线段的长.

4.运用数形结合思想求最值和定值.

题型一 整体思想求值

【典型例题1】

如图，已知AB＝10，C是线段AB上一动点（不与A，B重合），点M是线段AC的中点，

点N是线段BC的中点，求线段MN的长。

【思路分析】设AC＝2x，则CB＝10－2x，运用设不求，整体求解.

【答案解析】设AC＝2x，CB＝10－2x，

∵则M是线段AC的中点，点N是段BC約中点，

∴AM＝MC＝1/2AC＝x，CN＝NB＝1/2CB＝5－x,

∴MN＝MC＋CN＝x＋5－x＝5

题型二 方程思想求值

【典型例题2】本题摘自《初中数学典型题思路分析》

题型三 分类讨论思想求值

【典型例题3】本题摘自《初中数学典型题思路分析》

已知线段AB＝20cm,M为AB的中点.在AB所在直线上取一点P,N为AP的中点.若MN＝3cm,求线段AP的长.

【解题思路】

根据题意画出草图，树形结合解决这类题目比较简单;注意需要进行分类讨论.

【答案解析】

（1）点P在线段MB上,这时点N在线段AM上,如图（a）.因为AB＝20cm,M为AB的中点,所以AM＝1/2AB＝10cm.因为MN＝3cm,所以AN＝7cm.由为AP的中点,得AP＝2AN＝14cm;

（2）点P在线段AB的延长线上,这时点N在线段MB上,如图（b）.同理求得AM＝10cm,因为MN＝3cm,所以AN＝13cm.由N为AP的中点,得AP＝2AN＝26cm.

（3）点P在线段AM上,如图（c）,这时MN≥1/2AM＝5cm,与题意不符.同理,点P也不可能在线段BA的延长线上.

综上所述,线段AP的长为14cm或26cm.

题型四 数形结合思想求值

【典型例题4】本题摘自《初中数学典型题思路分析》

某班50名同学分别站在公路上的A，B两处，A，B两处相距1000m，A处有30人，B处有20人，要让两处的同学走到一起，并且使所有同学走的路程和最小，试确定集合地点.

【解题思路】数形结合+方程思想.

【答案解析】设集合地点到A处距离为x，根据题意则求30x+20(1000-x)得最小值，即求10x+2000得最小值，x=0时有最小值2000.所以集合地点在A处.

待续...