初中数学重要知识点内容解析:关于《反比例函数矩形存在性问题》例题分析

1.如图,在同一平面直角坐标系中,将x轴所在的直线绕着原点O逆时针旋转α度角后,与反比例函数y=8/x的图象分别交于第一、二象限的点B、D,已知点A(﹣m,0)和C(m,0).
(1)不论α取何值,四边形ABCD的形状一定是 平行四边形 
(2)当点B为(p,2√2)时,四边形ABCD是矩形,试求p,α和m的值;
(3)对(2)中的m值扩大√5/2倍,是否能使四边形ABCD为矩形?若能请求出D点坐标,若不能请说明理由.
【分析】(1)由于反比例函数的图象是一个中心对称图形,点B、D是正比例函数与反比例函数图象的交点,所以点B与点D关于点O成中心对称,则OB=OD,又OA=OC,根据对角线互相平分的四边形是平行四边形,可得出四边形ABCD的形状;
(2)把点B(p,2√2)代入y=8/x,即可求出p的值;过B作BE⊥x轴于E,在Rt△BOE中,根据正切函数的定义求出tanα的值,得出α的度数;要求m的值,首先解Rt△BOE,得出OB的长度,然后根据进行的对角线相等得出OA=OB=OC=OD,从而求出m的值;
(3)当m=2√5时,设D(x,8/x),则x<0,由OB=2√5,由此构建方程即可解决问题;
【解答】解:(1)∵点B与点D关于点O成中心对称,则OB=OD,又OA=OC,
∴四边形ABCD的形状一定是平行四边形;
故答案为:平行四边形;
(2)∵点B(p,2√2)在y=8/x的图象上,
∴2√2=8/p,
∴p=2√2,
∴BO=4,B(2√2,2√2),
∴OB是第一象限的角平分线,
∴α=45°,
又∵点B、D是正比例函数与反比例函数图象的交点,
∴点B、D关于原点O成中心对称,
∴OB=OD=4,
∵四边形ABCD为矩形,且A(﹣m,0),C(m,0),
∴AO=BO=CO=DO=4,
∴m=4;
(3)当m=2√5时,设D(x,8/x),则x<0,由OB=2√5,
得出x2+64/x²=20,
解方程得:x=±4或±2(正数舍去),
故能使四边形ABCD为矩形的点D共有2个分别为:(﹣4,﹣2)、(﹣2、﹣4);
【点评】本题主要考查了反比例函数综合、平行四边形的判定,矩形、菱形的性质及三角函数的定义等知识,正确把握矩形、菱形的性质是解题关键.

练1.如图1,平面直角坐标系中,△OAB的顶点A,B的坐标分别为(﹣2,4)、(﹣5,0).将△OAB沿OA翻折,点B的对应点C恰好落在反比例函数y=k/x(k≠0)的图象上.
(1)判断四边形OBAC的形状,并证明;
(2)直接写出反比例函数y=k/x(k≠0)的表达式;
(3)如图2,将△OAB沿y轴向下平移得到△O′A′B′,设平移的距离为m(0<m<4),平移过程中△O′A′B'与△OAB重叠部分的面积为S.探究下列问题.
请从A,B两题中任选一题作答,我选择(  )题.
A:若点B的对应点B′恰好落在反比例函数y=k/x(k≠0)的图象上,求m的值,并直接写出此时S的值;
B:若S=1/2S△OAB,求m的值;
(4)如图3,连接BC,交AO于点D.点P是反比例函数y=k/x(k≠0)的图象上的一点.
请从A,B两题中任选一题作答,我选择(  )题.
A:在x轴上是否存在点Q,使得以点O,D,P,Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出所有满足条件的平行四边形的顶点P,Q的坐标;若不存在,说明理由;
B:在坐标平面内是否存在点Q,使得以点A,O,P,Q为顶点的四边形是矩形?若存在,直接写出所有满足条件的点Q的坐标;若不存在,说明理由.
【分析】(1)如图1,过点A作AE⊥OB于E,由勾股定理可求AB=OB=5,由折叠的性质可得AB=AC,BO=CO,可证四边形ABOC是菱形;
(2)由菱形的性质可求点C坐标,即可求解;
(3)A:先求m的值,通过证明△ANP∽△A'B'O',由相似三角形的性质可求解;
B:通过证明△ANP∽△A'B'O',由相似三角形的性质可求解;
(4)A:分OD为边和对角线两种情况讨论,由平行四边形的性质可求解;
B:分两种情况讨论,由矩形的性质和全等三角形的判定和性质可求解.
【解答】解:(1)四边形ABOC是菱形,
理由如下:如图1,过点A作AE⊥OB于E,
∵A,B的坐标分别为(﹣2,4)、(﹣5,0),且AE⊥BO,
∴BO=5,BE=3,AE=4,
∴AB=√BE²+√AE²=√16+√9=5,
∴AB=BO,
∵将△OAB沿OA翻折,
∴AB=AC,BO=CO,
∴AB=AC=BO=CO,
∴四边形ABOC是菱形;
(2)∵四边形ABOC是菱形,
∴AC∥BO,且A点坐标(﹣2,4),AC=AB=5,
∴点C(3,4)
∵点C恰好落在反比例函数y=k/x(k≠0)的图象上,
∴k=3×4=12,
∴反比例函数表达式为y=12/x;
(3)A:∵将△OAB沿y轴向下平移得到△O′A′B′,
∴点B'的横坐标为﹣5,
∴y=﹣12/5,
∴m=12/5,
连接AA',并延长AA'交BO于点E,
∴AE=4,AA'=12/5,
∴A'E=8/5,
∵S△ABO=1/2×5×4=10,且将△OAB沿y轴向下平移得到△O′A′B′,
∴S△A'B'O'=10,
∵BO∥B'O',
∴△ANP∽△A'B'O',
∴S△ANP/ S△A'B'O'=(8/5/4)²
∴S=10×4/25=8/5
B:∵BO∥B'O',
∴△ANP∽△A'B'O',
∴S△ANP/ S△A'B'O'=[(4-m)/4]²=1/2
∴m=4﹣2√2;
(4)A:∵四边形ABOC是菱形,
∴AD=OD,
∵A(﹣2,4),点O(0,0),
∴点D(﹣1,2),
若OD为边,则点P在纵坐标为2或﹣2,
∴y=12/2=6或y=12/-2=﹣6,
∴点P(6,2)或(﹣6,﹣2),
如图3,当P(6,2)时,
∵四边形ODPQ是平行四边形,
∴DP=OQ=7,
∴点Q(7,0),
如图4,当P(﹣6,﹣2)时,
∵四边形ODQP是平行四边形,
∴OQ与PD互相平分,
∴点H(﹣7/2,0)
∴点Q(﹣7,0),
若DO为对角线,
∵四边形QOPD是平行四边形,
∴PQ与OD互相平分,
∵OD中点坐标(﹣1/2,1)
∴点P纵坐标为2,
∴点P坐标为(6,2)
∴点Q坐标为(﹣7,0)
综上所述:当点P(6,2),点Q为(7,0)或(﹣7,0)时,以点O,D,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,当点P(﹣6,2),点Q(﹣7,0)时,以点O,D,P,Q为顶点的四边形是平行四边形;
B:若以AO为对角线,在坐标平面内不存在点Q,使得以点A,O,P,Q为顶点的四边形是矩形;
若以AO为边,如图5,过点Q作QE⊥AC于E,过点P作HP⊥BO于H,
∵A点坐标(﹣2,4),点O坐标(0,0),
∴直线AO解析式为:y=﹣2x,
∵以点A,O,P,Q为顶点的四边形是矩形,
当∠AOP=90°,
∴直线OP解析式为:y=1/2x,
直线AQ解析式为:y=1/2x+5,
∴y=1/2x,y=12/x
∴x=±2√6,y=±√6
∴点P(2√6,√6)或(﹣2√6,﹣√6),
∴OH=2√6,PH=√6,
∵四边形AOPQ是矩形,
∴AQ=OP,AQ∥OP,
∴∠QAO=∠AOP=90°,
∵AC∥BO,
∴∠CAO+∠AOH=180°,
∴90°﹣∠QAE+90°+∠POH=180°,
∴∠QAE=∠POH,且AQ=OP,∠QEA=∠PHO=90°,
∴△AQE≌△OPH(AAS)
∴QE=PH=√6,AE=OH=2√6,
∴点Q(﹣2+2√6,4+√6)或(﹣2﹣2√6,4﹣√6),
当∠P'AO=90°,同理可求点Q(4,2)或(﹣10,﹣5);
综上所述:当点Q(﹣2+2√6,4+√6)或(﹣2﹣2√6,4﹣√6)或(4,2)或(﹣10,﹣5)时,以点A,O,P,Q为顶点的四边形是矩形.
【点评】本题是反比例函数综合题,考查了待定系数法求解析式,全等三角形的判定和性质,菱形的判定和性质,矩形的判定和性质,平行四边形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,利用分类讨论思想解决问题是本题的关键.
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