初中数学重要知识点内容解析:关于《反比例函数矩形存在性问题》例题分析 2024-07-28 20:30:22 1.如图,在同一平面直角坐标系中,将x轴所在的直线绕着原点O逆时针旋转α度角后,与反比例函数y=8/x的图象分别交于第一、二象限的点B、D,已知点A(﹣m,0)和C(m,0).(1)不论α取何值,四边形ABCD的形状一定是 平行四边形 (2)当点B为(p,2√2)时,四边形ABCD是矩形,试求p,α和m的值;(3)对(2)中的m值扩大√5/2倍,是否能使四边形ABCD为矩形?若能请求出D点坐标,若不能请说明理由. 【分析】(1)由于反比例函数的图象是一个中心对称图形,点B、D是正比例函数与反比例函数图象的交点,所以点B与点D关于点O成中心对称,则OB=OD,又OA=OC,根据对角线互相平分的四边形是平行四边形,可得出四边形ABCD的形状;(2)把点B(p,2√2)代入y=8/x,即可求出p的值;过B作BE⊥x轴于E,在Rt△BOE中,根据正切函数的定义求出tanα的值,得出α的度数;要求m的值,首先解Rt△BOE,得出OB的长度,然后根据进行的对角线相等得出OA=OB=OC=OD,从而求出m的值;(3)当m=2√5时,设D(x,8/x),则x<0,由OB=2√5,由此构建方程即可解决问题;【解答】解:(1)∵点B与点D关于点O成中心对称,则OB=OD,又OA=OC,∴四边形ABCD的形状一定是平行四边形;故答案为:平行四边形;(2)∵点B(p,2√2)在y=8/x的图象上,∴2√2=8/p,∴p=2√2,∴BO=4,B(2√2,2√2),∴OB是第一象限的角平分线,∴α=45°,又∵点B、D是正比例函数与反比例函数图象的交点,∴点B、D关于原点O成中心对称,∴OB=OD=4,∵四边形ABCD为矩形,且A(﹣m,0),C(m,0),∴AO=BO=CO=DO=4,∴m=4;(3)当m=2√5时,设D(x,8/x),则x<0,由OB=2√5,得出x2+64/x²=20,解方程得:x=±4或±2(正数舍去),故能使四边形ABCD为矩形的点D共有2个分别为:(﹣4,﹣2)、(﹣2、﹣4);【点评】本题主要考查了反比例函数综合、平行四边形的判定,矩形、菱形的性质及三角函数的定义等知识,正确把握矩形、菱形的性质是解题关键. 练1.如图1,平面直角坐标系中,△OAB的顶点A,B的坐标分别为(﹣2,4)、(﹣5,0).将△OAB沿OA翻折,点B的对应点C恰好落在反比例函数y=k/x(k≠0)的图象上.(1)判断四边形OBAC的形状,并证明;(2)直接写出反比例函数y=k/x(k≠0)的表达式;(3)如图2,将△OAB沿y轴向下平移得到△O′A′B′,设平移的距离为m(0<m<4),平移过程中△O′A′B'与△OAB重叠部分的面积为S.探究下列问题.请从A,B两题中任选一题作答,我选择( )题.A:若点B的对应点B′恰好落在反比例函数y=k/x(k≠0)的图象上,求m的值,并直接写出此时S的值;B:若S=1/2S△OAB,求m的值;(4)如图3,连接BC,交AO于点D.点P是反比例函数y=k/x(k≠0)的图象上的一点.请从A,B两题中任选一题作答,我选择( )题.A:在x轴上是否存在点Q,使得以点O,D,P,Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出所有满足条件的平行四边形的顶点P,Q的坐标;若不存在,说明理由;B:在坐标平面内是否存在点Q,使得以点A,O,P,Q为顶点的四边形是矩形?若存在,直接写出所有满足条件的点Q的坐标;若不存在,说明理由. 【分析】(1)如图1,过点A作AE⊥OB于E,由勾股定理可求AB=OB=5,由折叠的性质可得AB=AC,BO=CO,可证四边形ABOC是菱形;(2)由菱形的性质可求点C坐标,即可求解;(3)A:先求m的值,通过证明△ANP∽△A'B'O',由相似三角形的性质可求解;B:通过证明△ANP∽△A'B'O',由相似三角形的性质可求解;(4)A:分OD为边和对角线两种情况讨论,由平行四边形的性质可求解;B:分两种情况讨论,由矩形的性质和全等三角形的判定和性质可求解.【解答】解:(1)四边形ABOC是菱形,理由如下:如图1,过点A作AE⊥OB于E, ∵A,B的坐标分别为(﹣2,4)、(﹣5,0),且AE⊥BO,∴BO=5,BE=3,AE=4,∴AB=√BE²+√AE²=√16+√9=5,∴AB=BO,∵将△OAB沿OA翻折,∴AB=AC,BO=CO,∴AB=AC=BO=CO,∴四边形ABOC是菱形;(2)∵四边形ABOC是菱形,∴AC∥BO,且A点坐标(﹣2,4),AC=AB=5,∴点C(3,4)∵点C恰好落在反比例函数y=k/x(k≠0)的图象上,∴k=3×4=12,∴反比例函数表达式为y=12/x;(3)A:∵将△OAB沿y轴向下平移得到△O′A′B′,∴点B'的横坐标为﹣5,∴y=﹣12/5,∴m=12/5,连接AA',并延长AA'交BO于点E, ∴AE=4,AA'=12/5,∴A'E=8/5,∵S△ABO=1/2×5×4=10,且将△OAB沿y轴向下平移得到△O′A′B′,∴S△A'B'O'=10,∵BO∥B'O',∴△ANP∽△A'B'O',∴S△ANP/ S△A'B'O'=(8/5/4)²∴S=10×4/25=8/5B:∵BO∥B'O',∴△ANP∽△A'B'O',∴S△ANP/ S△A'B'O'=[(4-m)/4]²=1/2∴m=4﹣2√2;(4)A:∵四边形ABOC是菱形,∴AD=OD,∵A(﹣2,4),点O(0,0),∴点D(﹣1,2),若OD为边,则点P在纵坐标为2或﹣2,∴y=12/2=6或y=12/-2=﹣6,∴点P(6,2)或(﹣6,﹣2),如图3,当P(6,2)时, ∵四边形ODPQ是平行四边形,∴DP=OQ=7,∴点Q(7,0),如图4,当P(﹣6,﹣2)时, ∵四边形ODQP是平行四边形,∴OQ与PD互相平分,∴点H(﹣7/2,0)∴点Q(﹣7,0),若DO为对角线,∵四边形QOPD是平行四边形,∴PQ与OD互相平分,∵OD中点坐标(﹣1/2,1)∴点P纵坐标为2,∴点P坐标为(6,2)∴点Q坐标为(﹣7,0)综上所述:当点P(6,2),点Q为(7,0)或(﹣7,0)时,以点O,D,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,当点P(﹣6,2),点Q(﹣7,0)时,以点O,D,P,Q为顶点的四边形是平行四边形;B:若以AO为对角线,在坐标平面内不存在点Q,使得以点A,O,P,Q为顶点的四边形是矩形;若以AO为边,如图5,过点Q作QE⊥AC于E,过点P作HP⊥BO于H, ∵A点坐标(﹣2,4),点O坐标(0,0),∴直线AO解析式为:y=﹣2x,∵以点A,O,P,Q为顶点的四边形是矩形,当∠AOP=90°,∴直线OP解析式为:y=1/2x,直线AQ解析式为:y=1/2x+5,∴y=1/2x,y=12/x∴x=±2√6,y=±√6∴点P(2√6,√6)或(﹣2√6,﹣√6),∴OH=2√6,PH=√6,∵四边形AOPQ是矩形,∴AQ=OP,AQ∥OP,∴∠QAO=∠AOP=90°,∵AC∥BO,∴∠CAO+∠AOH=180°,∴90°﹣∠QAE+90°+∠POH=180°,∴∠QAE=∠POH,且AQ=OP,∠QEA=∠PHO=90°,∴△AQE≌△OPH(AAS)∴QE=PH=√6,AE=OH=2√6,∴点Q(﹣2+2√6,4+√6)或(﹣2﹣2√6,4﹣√6),当∠P'AO=90°,同理可求点Q(4,2)或(﹣10,﹣5);综上所述:当点Q(﹣2+2√6,4+√6)或(﹣2﹣2√6,4﹣√6)或(4,2)或(﹣10,﹣5)时,以点A,O,P,Q为顶点的四边形是矩形.【点评】本题是反比例函数综合题,考查了待定系数法求解析式,全等三角形的判定和性质,菱形的判定和性质,矩形的判定和性质,平行四边形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,利用分类讨论思想解决问题是本题的关键. 赞 (0) 相关推荐 初中数学竞赛:反比例函数 如图,矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点O,矩形的边分别平行于坐标轴,反比例函数y=k/x(k>0)的图像分别于BC.CD交于点M.N,若点A(-2,-2),且△OMN的面积为3/2,求k的值 ... 压轴题打卡33:矩形的性质;翻折变换(折叠问题) 在矩形AOBC中,OB=6,OA=4,分別以OB,OA所在直线为x轴和y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.F是BC上的一个动点(不与B.C重合),过F点的反比例函数y=k/x(k>0)的图象与A ... 平面直角坐标系中矩形和正方形的存在性问题 在本文中,我们将从矩形和正方形的判定入手,选择合适的方法解决平面直角坐标系中矩形和正方形的存在性问题. 一.判定方法 矩形的判定定理有3条:①对角线相等的平行四边形是矩形: ... 八下24讲 期末压轴特训2 四边形存在性问题大汇总 写在前面 上一讲,我们从反比例函数的图象出发,对其自身的平移,以及一次函数平移过程中,带来的k的变化进行了探究,而对于求三角形面积的方法,也比较了繁简,作了一个归纳.本讲,我们针对大家有些淡忘的四边形 ... 初中数学:一次函数、二次函数、反比例函数等等函数相关知识点一文总结! 文章来源:初中数学 初中数学:P1和P2是反比例函数图像上两点,怎么求它的解析式? 初中数学:P1和P2是反比例函数图像上两点,怎么求它的解析式?大家先在草稿本上认真地做一遍,然后再看后面的视频.期待您在评论区留言. (方老师数学课堂矩阵公众号,注重基础常考题,全部免费分享) 1.方 ... 初中数学:代数29之5 反比例函数在中... 初中数学:代数29之5 反比例函数在中考试题中的考点. 初中数学压轴知识点:几何动点专题——相似存在性问题 #618# 今天咱们继续学习关于几何动点经典题型--相似存在问题. "存在性问题"在数学发展的历史长河中一道必不可少的风景线,从"尺规作图三等分角"" ... 初中数学(一次函数、二次函数、反比例函数)考点重点全梳理! 今天给大家汇总了初中数学常见函数(一次函数.二次函数.反比例函数)的考点重点,获取打印版请看文末: 初中数学常见函数(一次函数.二次函数.反比例函数)考点&重点 以下为初中数学常见函数(一次函 ... 初中数学选择题、填空题、压轴题解题技巧!含例题分析 初中数学选择题、填空题、压轴题解题技巧!含例题分析 初中数学二次函数知识点总结+常见例题解析 初中数学二次函数知识点总结+常见例题解析 初中数学勾股定理知识点汇总 全题型解析(3) 初中数学勾股定理知识点汇总 全题型解析(3) 初中数学重要知识点与易错点梳理解析,希有帮助使你数学稳步提升 原创乡村薇姐2021-02-20 21:50:35 初中数学基础题很多很重要,但以下这些数学基础知识是初中数学的重要知识点也是易错易失分的点,我平时在工作中整理总结的初中数学重要知识点与易错点发布在头 ...