每日一题343：由级数的基本性质与比较法判定抽象函数值级数的敛散性
练习题
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习343：设在点的某个邻域内具有连续的二阶导数，且. 证明：
(1) 若，则绝对收敛；
(2) 若 0" data-formula-type="inline-equation" style="">，则收敛，而发散.
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练习参考解答
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习343：设在点的某个邻域内具有连续的二阶导数，且. 证明：
(1) 若，则绝对收敛；
(2) 若 0" data-formula-type="inline-equation" style="">，则收敛，而发散.
【参考解答】：由题设可知，，故由导数的定义，得
又在点的某个邻域内的二阶导数连续，故存在 0} \right)" data-formula-type="inline-equation" style="">，函数 连续，从而存在 0" data-formula-type="inline-equation" style="">，使得
于是由函数一阶带拉格朗日余项的麦克劳林公式，有
(1) 当时，当充分大，即时，有
因级数收敛，故由正项级数的比较判别法，级数 绝对收敛.
(2) 当0" data-formula-type="inline-equation" style="">时，则
由(1)知，级数绝对收敛，又级数条件收敛，故级数收敛. 由于
由于收敛， 发散，故发散.
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