自然是一本数学语言的书？应用数学与纯粹数学的区别

校对 | 阳纯 - [遇见数学] 实习编辑

数学很擅长描绘我们生活的世界，所以一些人认为数学不仅仅是可以描绘世界的工具，世界本身就是某种数学结构。这个观点吸引了任何一个热爱数学的人，但是它经得起检验吗？剑桥大学物理哲学家的杰里米·巴特菲尔德有下面一些观点分享给我们。

数学宇宙假说

毫无疑问在科学的历史中，尤其是物理学，提供了无数的例证据在用数学语言的力量去描述自然现象方面。科学革命中的重要人物、现代科学之父伽利略，设想用数学语言描述了很多，也可能是全部现象。

因此在《试金者》(The Assayer)一书中他写道，“哲学”与我们所说的“自然科学”或者“物理学”有等同的意义：

哲学被镌刻在这部称为宇宙的大书上，这本书永远打开着，接受我们的凝视。但要是我们不先掌握它的语言，不去解读它赖以记录的字符，那我们就不可能理解这部大书。它以数学语言写就，其字符是三角形、圆形和其他几何图形。没有这些，凡人连一个词也读不懂；没有这些，人们就在暗黑迷宫中徘徊。

当然，自从伽利略时代以来，数学在很多领域上就有了巨大的进展—即使是身为天才的他也是无法想象的。这证明数学不仅仅是一种工具，它也深深地扎根于现实的本质中。于是一些人就推动这个观点走向了极端，认为宇宙本身就是一种数学结构。

▲朱斯托·苏斯泰曼斯绘制的伽利略肖像 (图自维基)

怎么会成这样呢？物理学家马克斯·泰格马克在他的书《我们的数学宇宙》中采用了一条推理原则：外部现实完全独立于我们人类。如果这是真的，那么外部现实就必须具有一种完全没有主观成分的描述:也就是说，完全没有源于有关任何人类认知的生物学事实、文化事实或者有关个人心理的事实。

泰格马克对这些客观成分起了一个生动隐喻性的名字，称它们为“包袱”：由于我们的生物学、文化或者人类历史的偏见，这就造成我们对自然的描述中包含了错误或负担。对于从我们对自然的描述中剔除这些主观成分的努力，他有一个更加生动的比喻：科学，尤其是物理学，在历史上已经做出了并且应该继续努力去克服偏见。因此他称摆脱主观因素的成分为“减轻行李重量”，这似乎是一个有价值的目标。

这种观点认为没有任何包袱的描述就是纯粹的数学。它由抽象的实体（它们可能带着充满包袱的眼睛来代表组成世界的基本粒子）和它们之间的关系组成。一旦所有的包袱都被卸掉，你就只剩下数学了。所以泰格马克认为我们应该得出结论：这个世界是一个数学结构。

巴特菲尔德对这一论点的答复如下：我同意科学，特别是物理学，在历史上不断地努力克服由于我们的主观构成（生物学、文化和个人）而引起的各种认知偏见。我也认同要想在未来取得进步，我们必须期待物理学的继续努力。许多其他的科学家也都同意这一观点，尤其是物理学家和哲学家。我还相信外部现实是独立于我们人类的——在哲学中，这种观念通常被称为现实主义——这种外部现实理论意味着现实必须具有完全没有主观成分的描述。但是我不同意这暗示着宇宙是一个数学结构。总而言之，我的看法是：我们必须区分应用数学（也称理论物理学）和纯粹的数学。

应用数学

▲牛奶是如何溅起的?

应用数学给出了真实的经验描述(尤其是物理现象)，它存在于空间和时间中。“真实”并不一定意味着“完整”。例如我把牛奶倒入杯子时它洒到了桌子上。应用数学成功地根据相关的物理量(如少量牛奶的位置、速度和密度)来描述了其流动方式。

但是我们忽视了很多细节，例如牛奶的原子的组成。当然，这是通过将牛奶建模为由足够大包含许多原子的体积组成来完成的（因此我们希望不受原子现象的影响）。但是按照我们人类的标准来说它的体积还是很小的，所以牛奶的成分似乎是连续的。

这个例子所提到的关键特征是它的“相关物理量”：位置、速度和密度。当然，自伽利略时代以来，引入了新的物理量重新定义了旧的物理，这有时是非常微妙的，这是物理学的伟大成就之一。它把新的和旧的法则结合形成了一套法律和方法，尽管这些方法可能会出错，而且事实上它也在随着过去几十年的变化而改变，但在理论理解和经验的定量预测方面它都从一个成功走向了另一个成功。

我们已经在伽利略的“三角形、圆形和其它几何图形”中走了很长一段路了。在他的时代里，希望物理学能够只运用几何的概念（从希腊人那里继承而来），或许还可以运用更多的概念(如接触或碰撞的概念、质量或密度的概念)进行管理确实是合理的。但事实并非如此，因为大自然的想象力超越了我们！所以当物理学家继续研究连续不断的新现象领域时，它不得不引入一系列新的物理量（也需要改进旧的物理量）。正是这些独特的物理量（当然，它们对于所描述的系统的价值）成为了物理方程中的符号。

总的来说，如今，我们应该修改伽利略的说法。与其说“自然是一本数学语言的书”，不如说“自然是一本数学语法的书，但具有物理学的语义”。

与纯粹数学比较

什么是纯粹的数学？当我高喊与上面“这两者可以区分”时，到底是什么意思？

出于多种原因，在19世纪中叶出现了将数学作为对任意结构进行研究的思想。这意味着人们开始把数学看作是对数学家假定的支配某些元素领域的任意规则的后果的调查。这些规则是抽象的，因为只有它们的建构行为才有价值。这些元素也是抽象的，除了遵守已公布的规则外，对于它们的性质和彼此之间的关系没有任何假设。

几何学提供了一个例子。几何是由一组物质组成（点、线、面）和一些关于这些物体的基本事实组成（例如通过任意的两个点可以绘制一条直线）。但是有几种不同的结构可以回答这个描述。

我们熟悉的二维平面产生了一个完美的几何体。但在球体的表面也存在的大圆距离也相当于平面上直线那样。两者在本质上是不同的，尤其是因为三角形的表现不同。在平面上，它们的角度总是等于180度；而在球体中，它们的角度总是大于180度是由于三角形向外凸出。

▲此图为一三角形于一双曲抛物面上，另外右下方有两条在欧式几何中应平行的分流线。(图自维基)

在19世纪，数学家还发现了第三种几何形状，称为双曲几何，其中它的三角形的角度加起来少于180度。它描述了我们日常生活中没有经历过的空间。这一发现开始让数学家们将物理空间的实际几何(一个由标尺和量角器所揭示的经验性事物)与纯几何系统的概念区别开来，即使它没有用来描述物理空间，但两者也可以是一致的，值得深入研究。