中线定理的四种证法

中线定理：已知AD是△ABC的边BC上的中线，则

中线定理给出了三角形的中线与三边的关系，这个定理是怎么得到的呢？下面我们将给出该定理的四种证明方法。

证法一（纯几何法）：

由平方关系，联想到勾股定理，为此构造直角三角形。

过点A作AE⊥BC，垂足为E，根据△ABC的不同形状，垂足E可能在线段BD上、线段CD上、BC的延长线或CB的延长线上，当然E还可能与D点重合，此时△ABC是等腰三角形，结论显然成立。下面我们只证明垂足E在线段CD上的情况，其他情况类似证明。

由勾股定理，有：

所以，

故，得证。

证法二（解析几何法）：

解析几何法的特点在于计算，需要用到了两点之间的距离公式。

因为D点为中点，由中点坐标公式，有：

（此处，我们用表示P点的横坐标和纵坐标，下同。）

则

由恒等关系：

进一步可得：

，得证。

证法三（余弦定理）：

使用余弦定理证明也很简洁。

由余弦定理得：

因为BD=CD，∠ADB+∠ADC=180°，

所以

，

所以

，

从而，得证。

证法四（向量法）：

,

，

由于，所以，

从而，

故，得证。