几何代数59 ----平面二次曲线的分类
平面二次曲线方程
\[F(x,y)= a_{11}x^2 2a_{12}xy a_{22}y^2 2a_{1}x 2a_{2}y a_0= 0.\]
回顾：通过平面直角坐标变换，可化简平面二次曲线方程， 从而快速判定曲线的图形 .
问题1：平面二次曲线的图形有哪几种 ？
问题2：什么是平面二次曲线在坐标变换下的不变量？ 如何根据不变量来判定曲线的图形 ？
1、消去二次交叉项 ——利用线性代数知识
回顾：
作适当的转轴变换可以消去平面二次曲线方程中的二次交叉项
平面二次曲线方程：
\[F(x,y)= a_{11}x^2 2a_{12}xy a_{22}y^2 2a_{1}x 2a_{2}y a_0= 0.\]
$ G(x,y) = \mathbf{x }^TA \mathbf{x },\mathbf{x }= \binom{x}{y},\color{blue}{A=\begin{bmatrix} a_{11}& a_{12}\ a_{21}& a_{22}\end{bmatrix}}$$, \mathbf{b }=\binom{2a_1}{2a_2},c=a_0 $
$F(x,y)=\mathbf{x }^TA \mathbf{x } \mathbf{b }^T \mathbf{x } c $
消去二次交叉项:
$\Large\color{orange}{转轴变换：} $$\begin{cases} x= x' cos\theta -y'sin \theta \ y= x' sin\theta y'cos\theta \end{cases} $, \(\Rightarrow\) $\bbox[pink]{\binom{x}{y}=\begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta\ sin\theta& cos\theta \end{bmatrix}\binom{x'}{y'} } $
\(\Large\color{orange}{转轴矩阵：}\)\(R =\begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta\\ sin\theta& cos\theta \end{bmatrix} ,\)$ \large\mathbf{x }'=\binom{x'}{y'} $
$𝒙 = 𝑅𝒙′ $
【注】
（1）转轴矩阵是正交矩阵，且行列式为1 .
(2)$RR^T =I $ .
(3) $R^{-1} = R^T $.
$𝐺 (𝑥′, 𝑦′ )= 𝒙^𝑇𝐴 𝒙 = (𝑹𝒙′)^𝑇𝐴𝑅𝒙′ = 𝒙′𝑇𝑹𝑇𝐴𝑅𝒙′ = 𝒙′^T𝐴′𝑥′ , $
\(\large其中 𝐴′ = 𝑅^T𝐴𝑅 是对称矩阵\) .
要使 $𝐺 (𝑥′, 𝑦′ )= 𝒙′^T𝐴′𝑥′ $不含二次交叉项 ，只要 $𝐴′ $为对角矩阵 .
\[𝐴′ = 𝑅^T𝐴𝑅 =\color{blue}{\begin{bmatrix} a_{11}'& 0\\ 0& a_{22}'\end{bmatrix}}\\]
设 \(𝑅 = (𝜼_1, 𝜼_2)\) ， 由于 𝑅 是正交矩阵, \(𝑅^{−1} = 𝑅^T\)， 且 \(𝜼_1, 𝜼_2\ne 0\) , 有
\(A (𝜼_1, 𝜼_2) = (𝜼_1, 𝜼_2) \color{blue}{\begin{bmatrix} a_{11}'& 0\\ 0& a_{22}'\end{bmatrix}}\)\(\Rightarrow \begin{cases} A𝜼_1= a_{11}'𝜼_1\\ A𝜼_2= a_{22}'𝜼_2 \end{cases}\) , $\bbox[yellow ,2pt]{共性 𝐴𝜼 = 𝜆𝜼 } $
回顾：
矩阵的特征值与特征向量
1．对于n阶方阵A，如果存在数 \(\lambda\) 和 $n $维非零向量 \(\eta\) ,使得
\[A\eta = \lambda \eta\\ \]
则称$\lambda \(为矩阵A的特征值，\)\eta\(为矩阵A对应特征值\)\lambda$ 的特征向量．
2.特征值是特征方程 \(|\lambda I -A|=0\) 的根.称n次多项式 $f(A)=|\lambda I -A| $为特征多项式.
3.特征向量是齐次线性方程组 \((\lambda I -A)x =0\) 的$\large\color{orange}{非零解} $．
4.称\(n\)阶方阵\(A\)的主对角线上所有元素之和为\(A\)的迹，记作 \(tr(A)\) .
\[tr(A) = a_{11} a_{22} … a_{nn}\\]
5.$\large\color{orange}{矩阵迹的性质: } \(对于n阶方阵\)A ,B$，有
\[(1) tr(A B)= tr(A) tr(B). \qquad (2) tr(AB) = tr(BA).\]
6.$\large\color{orange}{特征值的性质:} $
$(1)\lambda_1 \lambda_2 …＋ \lambda_n = tr(A).\qquad (2) \lambda_1\lambda_2…\lambda_n = |A|. $
7.若A为实对称矩阵，则其特征值 \(\lambda\) 为实数，特征向量 \(\eta\) 为实向量.
$\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定理 1} }} $设 $A=\begin{bmatrix} a_{11}& a_{12}\ a_{21}& a_{22}\end{bmatrix} $是 2 阶实对称矩阵 ，则A有两个相等或不等的实特征值，并且
(1)A有两个相等的实特征值当且仅当 \(a_{11}= a_{22}\) ,且 $a_{12}=0 $
(2)当 $a_{11}\ne a_{22} $，或 $a_{12}\ne0 $时，A有两个不等的实特征值 \(\lambda_1,\lambda_2\) 它们对应的特征向量 \(β_1,β_2\) \(\Large\color\red相互正交\).
【定理1的证明】𝐴 的特征方程为 \(\begin{vmatrix} \lambda -a_{11}& -a_{12}\\ -a_{21}& \lambda - a_{22} \end{vmatrix}=0\) ,即
$𝜆^2 − (𝑎_{11} 𝑎_{22}) 𝜆 (𝑎_{11}𝑎_{22}− 𝑎_{12}𝑎_{21} )= 0 . $
因 $Δ = (𝑎_{11} 𝑎_{22})^2 -4 (𝑎_{11}𝑎_{22}− 𝑎_{12}𝑎_{21} )=(𝑎_{11} - 𝑎_{22})^2 4𝑎_{12}^2 \geq 0 $
所以A有两个相等或不等的实特征值，并且
(1)A有两个相等的实特征值当且仅当 $a_{11}= a_{22} $,且 \(a_{12}=0\) 。
(2)当 $a_{11}\ne a_{22} $，或 $a_{12}\ne0 $时，A有两个不等的实特征值 \(\lambda_1,\lambda_2\) 。
又 \(𝐴𝜷_1 = 𝜆_1𝜷_1，𝐴𝜷_2 = 𝜆_2𝜷_2\) , 则
$𝜷_2^T𝐴𝜷_1 = 𝜆_1𝜷_2T𝜷_1，𝜷_1T𝐴𝜷_2 = 𝜆_2𝜷_1^T𝜷_2 \(, 故\) (𝜆_1-𝜆_2)𝜷_1^T𝜷_2 =0 $, 即 $𝜷_1^T𝜷_2 =0 $.
$\large\color{orange}{当平面二次曲线方程的二次交叉项系数a_{12}\ne0 时:} $
A有两个不等的实特征值 \(\lambda_1,\lambda_2\), 它们对应的特征向量 \(β_1,β_2\)互正交.
令 $\eta _1 = \frac{\beta_1}{|\beta_1|} ,\eta _2 = \frac{\beta_2}{|\beta_2|} $ , 再设 $R=(\eta _1,\eta _2) $，则 $𝑅 $是正交矩阵 .
$\large\color{orange}{适当选取 𝜷_𝟏,𝜷_𝟐 ，使 |𝑅| = 𝟏 , 则 𝑅 为转轴变换矩阵 .} $
令 $x = Rx' $，则二次项部分
$𝐺 (𝑥′, 𝑦′) = 𝜆_1𝑥'^2 𝜆_2𝑦'^2 $
二次曲线 方程中 的一次项和常数项的变化
令 $x = Rx' $，则有
$F(x', y') = \mathbf{x }^TA\mathbf{x } b^T\mathbf{x } c = \mathbf{x }'^T R^TAR\mathbf{x }' b^ TR\mathbf{x }' c. $
常数项不变
一次项的变化
\(b^ TR\mathbf{x }' = b^T(𝜼_1, 𝜼_2) \binom{x'}{y'}=b^T𝜼_1x' b^T𝜼_2y'=2a_1'x' 2a_2'y'\)
\(\large其中a_1'=\frac{1}{2}b^T𝜼_1,a_2'=\frac{1}{2}b^T𝜼_2\)
\(\Rightarrow F (𝑥′, 𝑦′) = 𝜆_1𝑥'^2 𝜆_2𝑦'^2 2a_1'x' 2a_2'y' a_0\)
例1
用转轴化简方程 $C:5x^2-6xy 5y^2-6\sqrt{2} x ＋2\sqrt{2}y -4= 0. $
【解】 因 \({A=\begin{bmatrix} 5& -3\\ -3& 5\end{bmatrix}}\) ,则其特征方程为 \(\begin{vmatrix} \lambda-5& -3\\ -3& \lambda-5\end{vmatrix}=0\) 即
$ \large𝜆^2 − 10 𝜆 16 = 0 , 特征值为 𝜆_1 = 2 , 𝜆_2 = 8 . $
对于特征值为 \(𝜆_1 = 2\)方程组$ \begin{cases} −3𝑥 3𝑦 = 0\ 3𝑥 − 3𝑦 = 0 \end{cases}$ ,的一个非零解为 $\beta_1=(1,1)^T $
对于特征值为 \(𝜆_1 =8\)方程组$ \begin{cases} 3𝑥 3𝑦 = 0\ 3𝑥 3𝑦 = 0 \end{cases} $,的一个非零解为 \(\beta_2=(-1,1)^T\)
\(\eta _1 = \frac{\beta_1}{|\beta_1|}= \frac{1}{\sqrt{2}}(1,1)^T ,\eta _2 = \frac{\beta_2}{|\beta_2|}= \frac{1}{\sqrt{2}}(-1,1)^T .\)
令 \(R=(\eta _1,\eta _2)=\begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}& -\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix}\) ,则 \(|R|=1\) . 故转轴变换为\(x = Rx'\)
\(a_1'=\frac{1}{2}b^T𝜼_1= (-3\sqrt{2},\sqrt{2})𝜼_1=-2\ \ \ ,a_2'=\frac{1}{2}b^T𝜼_2= (-3\sqrt{2},\sqrt{2})𝜼_2=4\) $\large故 𝐶: 𝐹 (𝑥′, 𝑦′) = 2𝑥′^2 8𝑦′^2 − 4𝑥′ 8𝑦′ − 4 = 0 . $
2、平面二次曲线的分类
平面二次曲线方程
\[F(x,y)= a_{11}x^2 2a_{12}xy a_{22}y^2 2a_{1}x 2a_{2}y a_0= 0.\]
经过合适的转轴变换后消去二次交叉项，得到
\(F (𝑥′, 𝑦′) = 𝜆_1𝑥'^2 𝜆_2𝑦'^2 2a_1'x' 2a_2'y' a_0;\)
其中 $\lambda_1 = a'{11} , \lambda_2 = a'{22} $ . $\large\color{red}{再做移轴变换进一步化简 .} $
$F (𝑥′, 𝑦′) = a'{11}𝑥'^2 a'{22} 𝑦'^2 2a_1'x' 2a_2'y' a_0 $
$\large当 a'{11}与 a'{22}全不为0时： $
配方得 $ a'{11}(x' \frac{a_1'}{ a'{11}})^2 a'{22}(y' \frac{a_2'}{ a'{22}})2 a_0-\frac{a_1'2}{ a'{11}}-\frac{a_2'^2}{ a'{22}}=0 $,
再移轴\(\begin{cases} x''= x' \frac{a_1'}{ a'_{11}} \\ y''= y' \frac{a_2'}{ a'_{22}} \end{cases}\),得 $\large\bbox[cyan ,2pt]{F (𝑥'', 𝑦'') =a'_{11}x''2 a'_{22}y''2 a_0'=0} $,
$\large其中a_0'=a_0-(\frac{a_1'^2}{ a'{11}} \frac{a_2'^2}{ a'{22}} ) $ .
$\Large\color{violet}{情形1：a'{11} 与 a'{22}同号.} $
(1)当 $a'0与a'{11} $异号时，得 $ \large\frac{x''2}{a2} \frac{y''2}{b2}=1$ ---------椭圆
(2)当 $a'0与a'{11} $同号时，得 \(\large \frac{x''^2}{a^2} \frac{y''^2}{b^2}=-1\) -------虚椭圆
(3）当 $a'_0=0 $时，得 $ \large\frac{x''2}{a2} \frac{y''2}{b2}=0 $-----------一对虚相交线
$\Large\color{violet}{情形2：a'{11} 与 a'{22}异号.} $
(1)当 \(a'_0与a'_{11}\) 异号时，得 $ \large\frac{x''2}{a2}-\frac{y''2}{b2}=1$ ---------双曲线
当\(a'_0与a'_{11}\)同号时，得 $ \large-\frac{x''2}{a2} \frac{y''2}{b2}=1 $-------双曲线
(2）当 \(a'_0=0\) 时，得 $ \large\frac{x''2}{a2}-\frac{y''2}{b2}=0$ -----------相交直线
$\Large\color{violet}{情形3：a'{11} 与 a'{22}恰好一个为0.} $
约定\(A\)的特征值为 $\lambda_1= 0,\lambda_2≠0 $，则 $a'{11} = 0 ,a'{22}≠0 $，得
\(F (𝑥′, 𝑦′) = a'_{22} 𝑦'^2 2a_1'x' 2a_2'y' a_0\) ,配方得
\(a'_{22}(y' \frac{a_2'}{ a'_{22}})^2 2𝑎_1′ 𝑥′ a_0-\frac{a_2'^2}{ a'_{22}}=0 .\)
（1）当$𝑎_1′≠ 0 $ 时，移轴 \(\begin{cases} x''= x' \frac{a_0a'_{22}-a_2'^2}{2a'_{1} a'_{22}} \\ y''= y' \frac{a_2' }{ a'_{22}} \end{cases}\) 得 \(𝑎′_{22}𝑦′′^2 2𝑎_1′ 𝑥′′ = 0 .\) ------抛物线
（2）当$𝑎_1′= 0 $ 时，移轴 $\begin{cases} x''= x' \ y''= y' \frac{a_2' }{ a'{22}} \end{cases} $得 \(𝑎'_{22}𝑦′′^2 a_0' = 0 .\) $\bbox[cyan ,2pt]{a_0' =a_0-\frac{𝑎'^2{2}}{𝑎'_{22}} } $
(2.1)当 $\large a_0' 与𝑎′_{22} $同号时，方程无轨迹，或表示一对虚平行线.
(2.2)当$\large a_0' 与𝑎′_{22} $异号时，方程表示一对平行线．
(2.3)当\(a_0' =0\)时，方程表示一对重合直线（x 轴).
小结：平面二次曲线的种类（恰好3类9种）
第Ⅰ类 椭圆
（1）椭圆：$ \frac{x2}{a2} \frac{y2}{b2}=1$
（2）虚椭圆： $ \frac{x2}{a2} \frac{y2}{b2}=-1 $
（3）一对虚相交线： $ \frac{x2}{a2} \frac{y2}{b2}=0 $
第Ⅱ类 双曲线
（4）双曲线： $ \frac{x2}{a2}-\frac{y2}{b2}=1 $
（5）相交直线：$ \frac{x2}{a2}-\frac{y2}{b2}=0$
第Ⅲ类 抛物线
（6）抛物线 \(𝑦^2 = 𝑐𝑥.\)
（7）一对平行线： \(𝑦^2 = 𝑐^2.\)
（8）一对虚平行线： \(𝑦^2 = −𝑐^2.\)
（9）一对重合直线： \(𝑦^2 = 0 .\)
椭圆、双曲线与抛物线这3类曲线统称为圆锥曲线 .
例2
化简方程 $C:x^2 2xy y^2-8\sqrt{2}x 4= 0 $，并作出其图形.
【解】 因 ${A=\begin{bmatrix} 1& 1\ 1& 1\end{bmatrix}} $,则其特征方程为 $\begin{vmatrix} \lambda -1& -1\ -1& \lambda -1 \end{vmatrix}= 0 $,
即 \(\lambda^2-2\lambda=0\) ，特征值为 \(𝜆_1 = 0 , 𝜆_2 = 2 .\)
对于特征值为 $ 𝜆_1 = 0$方程组 $\begin{cases} −𝑥 −𝑦 = 0\ −𝑥 −𝑦 = 0 \end{cases} $,的一个非零解为 $\beta_1=(1,-1)^T $
对于特征值为 \(𝜆_2 = 2\) 方程组 \(\begin{cases} 𝑥 -𝑦 = 0\\ -𝑥 𝑦 = 0 \end{cases}\) ,的一个非零解为 \(\beta_2=(1,1)^T\)
$\eta _1 = \frac{\beta_1}{|\beta_1|}= \frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1)^T ,\eta _2 = \frac{\beta_2}{|\beta_2|}= \frac{1}{\sqrt{2}}(1,1)^T $ .
令 \(R=(\eta _1,\eta _2)=\begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\\ -\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix}\) ,则 \(|R|=1\) . 故转轴变换为\(x = Rx'\)
\(a_1'=\frac{1}{2}b^T𝜼_1= (-4\sqrt{2},0)𝜼_1=-4\ \ \ ,a_2'=\frac{1}{2}b^T𝜼_2= (-4\sqrt{2},0)𝜼_2=-4\)
故 $𝐶: 𝐹 (𝑥′, 𝑦′) = 2y′^2 − 8𝑥′ 8𝑦′ − 4 = 0 . $
故在转轴变换 \(\begin{cases} x= \frac{\sqrt{2} }{2}𝑥′ \frac{\sqrt{2} }{2}y' \\ y= -\frac{\sqrt{2} }{2}𝑥′ \frac{\sqrt{2} }{2}y' \end{cases}\) \(（ 对应𝜃 = −\frac{𝜋}{4} ）\)下，得
$𝐶: 𝐹 (𝑥′, 𝑦′) = 2y′^2 − 8𝑥′ - 8𝑦′ 4 = 0 . $
再做移轴变换进一步化简 . 配方得 \(𝐹 (𝑥′, 𝑦′) =2(𝑦′ − 2)^2 − 8 (𝑥′ \frac{1}{2}) = 0 .\)
令 $\begin{cases} x''= 𝑥′ \frac{1 }{2} \ y''= y'-2 \end{cases} $得
$ 𝐶: 𝐹 (𝑥′, 𝑦′) = 2y''^2 − 8𝑥''= 0 . $
$即 𝐶: 𝑦′′ ^2 = 4 𝑥 ′′ $, 其图形为抛物线 .
且 $\begin{cases} x= \frac{\sqrt{2} }{2}(𝑥'' - \frac{1 }{2} ) \frac{\sqrt{2} }{2}(y'' 2 ) =\frac{\sqrt{2} }{2}x'' \frac{\sqrt{2} }{2}y'' \frac{3\sqrt{2} }{4} \ y=- \frac{\sqrt{2} }{2}(𝑥'' - \frac{1 }{2} ) \frac{\sqrt{2} }{2}(y'' 2 ) =-\frac{\sqrt{2} }{2}x'' \frac{\sqrt{2} }{2}y'' \frac{5\sqrt{2} }{4}\end{cases} $
3、平面二次曲线的不变量
对于平面二次曲线方程
$F(x,y)= a_{11}x^2 2a_{12}xy a_{22}y^2 2a_{1}x 2a_{2}y a_0= 0. $
如果方程系数的一个确定的函数经过某种坐标变换后其函数值不变，则称这个函数是平面二次曲线 $\large\color\red{关于该坐标变换的不变量.} $
如果方程系数的一个确定的函数经过$\large\color\red{转轴或移轴变换} $ 后其函数值不变，则称这个函数是这条曲线的不变量．
一些记号
\[\tilde{A}=\begin{bmatrix} a_{11}& a_{12} &a_1\\ a_{21}& a_{22} &a_2\a_1 & a_2 & a_0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} A &\delta \\ \delta^T &a_0\end{bmatrix}, ~~~ \tilde{x}=\begin{pmatrix}x\\ y\\ 1\end{pmatrix} , ~~~\delta=\begin{pmatrix}a_1\\ a_2\\ \end{pmatrix}\]
\[\bbox[cyan ,2pt]{ \tilde{x}=\begin{pmatrix}x\\ 1\end{pmatrix}=\begin{bmatrix} R & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} \begin{pmatrix}x'\\ 1\\ \end{pmatrix}}\]
\[\begin{aligned}𝐹 (𝑥, 𝑦) &=\tilde{x}^T\tilde{A}\tilde{x} = \tilde{x}^T\begin{bmatrix} A &\delta \\ \delta^T &a_0\end{bmatrix}\tilde{x} \&= (x'^T,1)\begin{bmatrix} R^T & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} A &\delta \\ \delta^T &a_0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} R & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}\begin{pmatrix}x'\\ 1\\ \end{pmatrix}\\&=(x'^T,1)\begin{bmatrix} R^TAR & R^T\delta \\ \delta^TR &a_0\end{bmatrix}\begin{pmatrix}x'\\ 1\\ \end{pmatrix}\&=𝐹 (𝑥’, 𝑦’)\end{aligned}\]
平面二次曲线的不变量
对于平面二次曲线方程
$F(x,y)= a_{11}x^2 2a_{12}xy a_{22}y^2 2a_{1}x 2a_{2}y a_0= 0. $
定义与其系数相关的三个量：
\[𝐼_1 = tr(A)= 𝑎_{11} 𝑎_{22} ,~~~I_2 = |A|=\begin{vmatrix} 𝑎_{11} & 𝑎_{12} \\ 𝑎_{21} & 𝑎_{22} \end{vmatrix}~~~,I_3 =|\tilde{A}|= \begin{vmatrix} a_{11}& a_{12} &a_1\\ a_{21}& a_{22} &a_2\a_1 & a_2 & a_0\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} A &\delta \\ \delta^T &a_0\end{vmatrix}\]
$\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定理 2} }} \(对于平面二次曲线的转轴变换，\)𝐼_1 ,𝐼_2 ,𝐼_3$ 都是不变量 .
【证】 对于平面二次曲线
\[G:𝐹 (𝑥, 𝑦) =\tilde{x}^T\tilde{A}\tilde{x} = (x^T,1)\begin{bmatrix} A &\delta \\ \delta^T &a_0\end{bmatrix}\begin{pmatrix}x\\ 1\\ \end{pmatrix}=0\]
作转轴变换 $x = Rx' $, 得
\[G:𝐹 (𝑥’, 𝑦’) =\tilde{x'}^T\tilde{A'}\tilde{x'} =(x'^T,1)\begin{bmatrix} R^TAR & R^T\delta \\ \delta^TR &a_0\end{bmatrix}\begin{pmatrix}x'\\ 1\\ \end{pmatrix}=0\]
其中 𝑅 为正交矩阵，且 \(|𝑅| = 1\) .
\[\begin{aligned}I'_1&= tr (A') = tr (R^TAR) = tr (ARR^T) = tr (AI)= tr (A) = I_1.\I'_2 &=|A|= |R^TAR|= |R^T||A||R|=|A| = I_2.\I'_3 &= |\tilde{A'}| =\begin{vmatrix} R^TAR & R^T\delta \\ \delta^TR &a_0\end{vmatrix} =\begin{vmatrix}\begin{bmatrix} R^T & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} A &\delta \\ \delta^T &a_0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} R & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}\end{vmatrix}\&=\begin{vmatrix} R^T & 0 \\ 0 & 1\end{vmatrix}\begin{vmatrix} A &\delta \\ \delta^T &a_0\end{vmatrix}\begin{vmatrix} R & 0 \\ 0 & 1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} A &\delta \\ \delta^T &a_0\end{vmatrix}=|\tilde{A}|=I_3\end{aligned}\]
结论成立 .
【注】由线性代数知，旋转变换不改变矩阵的特征值，故$𝐼_1 ,𝐼_2 $ 是不变量
$\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定理 3} }} \(对于平面二次曲线的移轴变换，\)𝐼_1 ,𝐼_2 ,𝐼_3$ 都是不变量 .
【证】 对于平面二次曲线
$F(x,y)= a_{11}x^2 2a_{12}xy a_{22}y^2 2a_{1}x 2a_{2}y a_0= 0. $
作移轴变换\(\begin{cases} x= 𝑥′ 𝑥_0\\ y= y′ y_0 \end{cases}\),代入曲线方程，整理得
\[\begin{aligned} F(x',y')& = a_{11}(𝑥′ 𝑥_0)^2 2a_{12}(𝑥′ 𝑥_0)( y′ y_0) a_{22}( y′ y_0)^2\\ & 2a_{1}(𝑥′ 𝑥_0) 2a_{2}( y′ y_0) a_0\\& =a_{11}𝑥' ^2 2a_{12}𝑥'y' a_{22}y'^2 \\& 2 \color\green{(a_{11} 𝑥_0 a_{12}y_0 a_1)}x' 2 \color\green{(a_{21} 𝑥_0 a_{22}y_0 a_2)}y'\\& (a_{11}𝑥_0^2 2 a_{12}𝑥_0y_0 a_{22} y_0^2 2a_{1}𝑥_0 2a_{2}y_0 a_0 ) \end{aligned}\\]
从 \(𝐹 (𝑥′, 𝑦′)\) 的表达式知，移轴不改二次项的系数，故
\[𝐼_1 ’= 𝑎_{11} 𝑎_{22}=𝐼_1 ,~~~I_2’ = \begin{vmatrix} 𝑎_{11} & 𝑎_{12} \\ 𝑎_{12} & 𝑎_{22} \end{vmatrix}=I_2\]
\[𝐼′_3的第一个行列式第 3 列减去第 1 列乘 𝑥_0，同时减去第2 列乘 𝑦_0 .然后，对行操作.\]
\[𝐼′_3= \begin{vmatrix} a_{11}& a_{12} & \color\red a_1'\\ a_{21}& a_{22} &\color\red a_2'\\color\red a_1' & \color\red a_2' & \color\red a_0'\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_{11}& a_{12} & a_1\\ a_{21}& a_{22} &a_2\\color\red a_1' &\color\red a_2' & 𝑎_1𝑥_0 𝑎_2𝑦_0 𝑎_0\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_{11}& a_{12} &a_1\\ a_{21}& a_{22} &a_2\a_1 & a_2 & a_0\end{vmatrix}=I_3\]
其中
\[a_1'=(a_{11} 𝑥_0 a_{12}y_0 a_1) , ~~~a_2'=(a_{21} 𝑥_0 a_{22}y_0 a_2)~~~\\ a_0'= a_{11}𝑥_0^2 2 a_{12}𝑥_0y_0 a_{22} y_0^2 2a_{1}𝑥_0 2a_{2}y_0 a_0 \]
【注】\(𝐼_1 ,𝐼_2 ,𝐼_3\) 都是平面二次曲线不变量 .
$\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定理 4} }} \(对于平面二次曲线，\)K_1 = \begin{vmatrix}
𝑎_{11} & 𝑎_{1} \
𝑎_{1} & 𝑎_{0}
\end{vmatrix} \begin{vmatrix}
𝑎_{22} & 𝑎_{2} \
𝑎_{2} & 𝑎_{0}
\end{vmatrix}\(关于转轴是不变量，且当\)I_2=I_3=0\(时，\)𝐾_1$ 是移轴的不变量 . 称\(𝐾_1\) 是\(\color{red}{半不变量}\) .
【证】 作转轴变换 $x = Rx' \(, 得\)\tilde{A'} =\begin{bmatrix} R^TAR & R^T\delta \ \delta^TR &a_0
\end{bmatrix},\delta' =R^T \delta =\begin{pmatrix}
a_1'\
a_2'\
\end{pmatrix}$
\[\begin{aligned} K_1' &= \begin{vmatrix} 𝑎_{11}’ & 𝑎_{1}’ \\ 𝑎_{1}’ & 𝑎_{0} ’\end{vmatrix} \begin{vmatrix} 𝑎_{22}’ & 𝑎_{2}’ \\ 𝑎_{2} ’ & 𝑎_{0} ’\end{vmatrix} =(𝑎_{11}’ 𝑎_{22}’) 𝑎_{0} ’ − (𝑎_{1}’^2 𝑎_{2} ’^2)\&=𝐼′_1𝑎′_0 − 𝜹′^T𝜹′ = 𝐼_1𝑎_0 − 𝜹^T𝑅𝑅^T𝜹 = 𝐼_1𝑎_0 − 𝜹^T𝜹&= 𝐼_1𝑎_0 − (𝑎_1^2 𝑎_2^2) = 𝐾_1.\end{aligned}\\]
当\(I_2=0\)时，有\(𝑎_{11} 𝑎_{22}= 𝑎_{12}^2\)，且$a_{11}, a_{22} $至少一个不为 0 .
不妨设\(a_{22}≠0\)．记\(a_{11}: a_{12}= a_{21}: a_{22}= k\),注意\(a_{12}= a_{21}\) ,当\(I_3=0\)时，有
\[\begin{aligned}0& = \begin{vmatrix} a_{11}& a_{12} &a_1\\ a_{21}& a_{22} &a_2\a_1 & a_2 & a_0\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} ka_{12}& a_{12} &a_1\\ ka_{22}& a_{22} &a_2\a_1 & a_2 & a_0\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 0& a_{12} &a_1\\ 0 & a_{22} &a_2\a_1-ka_2 & a_2 & a_0\end{vmatrix}\&=(𝑎_1 − 𝑘𝑎_2)\begin{vmatrix} a_{12} &a_1\\ a_{22} &a_2\\end{vmatrix}=(𝑎_1 − 𝑘𝑎_2)\begin{vmatrix} k a_{22} &a_1\\ a_{22} &a_2\\end{vmatrix}\\&=−a_{22} (𝑎_1 − 𝑘𝑎_2)^2. ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~所以，有𝑎_1 = 𝑘𝑎_2 .\end{aligned}\]
当\(I_2=I_3=0\)时，作移轴变换 ,由\(a_{11}: a_{12}= a_{21}: a_{22}=a_{1}: a_{2}= k\)及
\[\begin{aligned} F(x',y')& =a_{11}𝑥' ^2 2a_{12}𝑥'y' a_{22}y'^2 \\& 2 \color\green{(a_{11} 𝑥_0 a_{12}y_0 a_1)}x' 2 \color\green{(a_{21} 𝑥_0 a_{22}y_0 a_2)}y'\\& (\color{blue}{a_{11}𝑥_0^2 2 a_{12}𝑥_0y_0 a_{22} y_0^2 2a_{1}𝑥_0 2a_{2}y_0 a_0} ) \end{aligned}\\]
知
\[a_{11}’ = a_{11}=k a_{12}=k^2 a_{22}\a_1'=a_{11} 𝑥_0 a_{12}y_0 a_1=k^2 a_{22} 𝑥_0 ka_{22}y_0 ka_2\a_0'=k^2 a_{22} 𝑥_0^2 2 ka_{22}𝑥_0y_0 a_{22} y_0^2 2ka_2𝑥_0 2a_{2}y_0 a_0 \]
\[\begin{array}{}&\begin{array}{|cc|}a_{11}^{\prime} & a_{1}^{\prime} \\ a_{1}^{\prime} & a_{0}^{\prime}\end{array} \&=k\left|\begin{array}{cc}k a_{22} & k a_{22} x_{0} a_{22} y_{0} a_{2} \\ k^{2} a_{22} x_{0} k a_{22} y_{0} k a_{2} & k^{2} a_{22} x_{0}^{2} 2 k a_{22} x_{0} y_{0} a_{22} y_{0}^{2} 2 k a_{2} x_{0} 2 a_{2} y_{0} a_{0}\end{array}\right|\&=k\left|\begin{array}{cc}k a_{22} & k a_{22} x_{0} a_{22} y_{0} a_{2} \\ k a_{2} & k a_{2} x_{0} a_{2} y_{0} a_{0}\end{array}\right|\\ &=k^{2}\left|\begin{array}{cc}a_{22} & a_{2} \\ a_{2} & a_{0}\end{array}\right|\\ &=\left|\begin{array}{cc}k^{2} a_{22} & k a_{2} \\ k a_{2} & a_{0}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}a_{11} & a_{1} \\ a_{1} & a_{0}\end{array}\right|\end{array}\]
\[行列式第二行减去第一行的𝑘𝑥0 𝑦0倍\第一列提出𝑘后，行列式第二列减去第一列的 𝑘𝑥0 𝑦0倍\]
\(\mathrm{又~} a_{22}^{\prime}=a_{22}, \quad a_{2}^{\prime}=a_{21} x_{0} a_{22} y_{0} a_{2}=k a_{22} x_{0} a_{22} y_{0} a_{2},\)
\(a_{0}^{\prime}=k^{2} a_{22} x_{0}^{2} 2 k a_{22} x_{0} y_{0} a_{22} y_{0}^{2} 2 k a_{2} x_{0} 2 a_{2} y_{0} a_{0}\)
\(\left|\begin{array}{ll}a_{22}^{\prime} & a_{2}^{\prime} \\ a_{2}^{\prime} & a_{0}^{\prime}\end{array}\right|=\)
\(\left|\begin{array}{cc} a_{22} & k a_{22} x_{0} a_{22} y_{0} a_{2} \\ k a_{22} x_{0} a_{22} y_{0} a_{2} & k^{2} a_{22} x_{0}^{2} 2 k a_{22} x_{0} y_{0} a_{22} y_{0}^{2} 2 k a_{2} x_{0} 2 a_{2} y_{0} a_{0}\end{array}\right|\)
\(=\left|\begin{array}{cc}a_{22} & k a_{22} x_{0} a_{22} y_{0} a_{2} \\ a_{2} & k a_{2} x_{0} a_{2} y_{0} a_{0}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}a_{22} & a_{2} \\ a_{2} & a_{0}\end{array}\right|\)
所以, \(\quad K_{1}^{\prime}=\left|\begin{array}{cc}a_{11}^{\prime} & a_{1}^{\prime} \\ a_{1}^{\prime} & a_{0}^{\prime}\end{array}\right| \left|\begin{array}{cc}a_{22}^{\prime} & a_{2}^{\prime} \\ a_{2}^{\prime} & a_{0}^{\prime}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}a_{11} & a_{1} \\ a_{1} & a_{0}\end{array}\right| \left|\begin{array}{cc}a_{22} & a_{2} \\ a_{2} & a_{0}\end{array}\right|=K_{1}\)
利用不变量确定平面二次曲线的类型和形状
平面二次曲线：
$F(x,y)= a_{11}x^2 2a_{12}xy a_{22}y^2 2a_{1}x 2a_{2}y a_0= 0. $
当 \(𝐼_2 ≠ 0\) 时，通过合适的转轴和移轴变换，得到最简方程：
\[𝐶: 𝐹 (𝑥′, 𝑦′) = 𝑎′_{11}𝑥′^2 𝑎′_{22}𝑦′^2 𝑎′_0 = 0 . 其中 𝑎′_{11} = 𝜆_1, 𝑎′_{22} = 𝜆_2 .\]
由于\(𝐼_1 ,𝐼_2 ,𝐼_3\)是不变量，则 $𝐼_1 =𝑎′{11} 𝑎′{
22} $, $𝐼_2 = 𝑎′{11} ,𝑎′{
22} $。
\[I_3 = \begin{vmatrix} a_{11}’ & 0 &0\\ 0& a_{22}’ &0\0 & 0 & a_0’\end{vmatrix}= 𝐼_2𝑎′_0 .{\color\red\Rightarrow }𝑎′_0=\frac{I_3}{I_2}\]
当 \(𝐼_2 ≠ 0\) 时，最简方程：\(𝐶: 𝜆_1𝑥′^2 𝜆_2𝑦′^2 \frac{I_3}{I_2} = 0 .\) \(\bbox[cyan ,2pt]{𝐼_1 = 𝜆_1 𝜆_2,𝐼_2 = 𝜆_1𝜆_2 .}\)
第Ⅰ类 . 若 \(𝐼_2 > 0\)，则曲线为椭圆型 .
（1） 若 \(𝐼_3𝐼_1 < 0\)，则曲线为椭圆；
（2） 若 \(𝐼_3𝐼_1 > 0\)，则曲线为虚椭圆；
（3） 若 \(𝐼_3 = 0\)，则曲线为一个点（一对虚相交线）
第Ⅱ类 . 若 𝐼2 < 0，则曲线为双曲型 .
（4） 若 \(𝐼_3 ≠ 0\)，则曲线为双曲线；
（5） 若 \(𝐼_3 = 0\)，则曲线为一对相交直线；
第Ⅲ类 . 若 \(𝐼_2 = 0\)，则曲线为抛物型 .
(6)若最简方程为第一种形式\(C:a'_{22}y'^2 2a'_1x' = 0 ,a'_{22}≠ 0,a'_1≠0\),则曲线为抛物线 .
\[I_1 =a'_{22},I_2=0,\I_3=\begin{vmatrix} 0 & 0 &a_{1}’\\ 0& a_{22}’ &0\a_{1}’ & 0 & 0\end{vmatrix}=-𝐼_1𝑎′_1^2 , ~~~~~~𝐶: 𝐼_1𝑦′^2 ± 2 \sqrt{\frac{-I_3}{I_1}}x′=0\]
若最简方程为第二种形式 $𝐶: 𝑎′_{22}𝑦′^2 𝑎′0 = 0 , 𝑎′{22} ≠ 0, $
\[I_1 =a'_{22},\color{red}{I_2=0,𝐼_3 = 0}，K_1' = \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 0& 𝑎_{0} ’\end{vmatrix} \begin{vmatrix} 𝑎_{22}’ & 0 \\ 0 & 𝑎_{0} ’\end{vmatrix} =𝐼_1𝑎′_0 .\𝐶: 𝐼_1𝑦′^2 ± {\frac{K_1}{I_1}}=0\]
（7）若\(𝐾_1 < 0\) , 则曲线为一对平行直线 .
（8）若\(𝐾_1 > 0\) , 则曲线为一对虚平行直线 .
（9）若\(𝐾_1 = 0\) , 则曲线为一对重合直线 .
例3
讨论曲线 \(C: \lambda x^{2}-2 x y \lambda y^{2}-2 x 2 y 5=0\) 的类型
其中 \(\lambda\) 为参数 \(.\)
(解 \(]\) 计算不变量: \(\quad I_{1}=2 \lambda, \quad I_{2}=\left|\begin{array}{cc}\lambda & -1 \\ -1 & \lambda\end{array}\right|=\lambda^{2}-1\),
\(I_{3}=\left|\begin{array}{ccc}\lambda & -1 & -1 \\ -1 & \lambda & 1 \\ -1 & 1 & 5\end{array}\right|=5 \lambda^{2}-2 \lambda-3=5\left(\lambda \frac{3}{5}\right)(\lambda-1)\)
\(K_{1}=\left|\begin{array}{cc}\lambda & -1 \\ -1 & 5\end{array}\right| \left|\begin{array}{cc}\lambda & 1 \\ 1 & 5\end{array}\right|=10 \lambda-2=10\left(\lambda-\frac{1}{5}\right)\)
(1)当 \(|\lambda|>1\) 时, \(I_{2}>0,\) 曲线为椭圆型 \(.\)
\((1.1)\text { 当 } \lambda<-1\) 时, \(I_{1}<0, I_{3}>0,\) 曲线为椭圆 \(.\)
(1.2)$\text { 当 } \lambda>1 \text { 时, } I_{1}>0, I_{3}>0, \text { 曲线为虛椭圆 } $
(2) 当 \(|\lambda|<1\) 时, \(I_{2}<0\), 曲线为双曲型 \(.\)
(2.1) 当 \(-1<\lambda<1\) 且 \(\lambda \neq-\frac{3}{5}\) 时, \(I_{3} \neq 0,\) 曲线为双曲线 \(.\)
(2.2) 当 \(\lambda=-\frac{3}{5}\) 时, \(I_{3}=0,\) 曲线是一对相交直线 \(.\)
(3) 当 \(|\lambda|=1\) 时, \(I_{2}=0\), 曲线为抛物线
(3.1) 当 \(\lambda=-1\) 时, \(I_{3} \neq 0,\) 曲线是抛物线 \(.\)
(3.2) 当 \(\lambda=1\) 时, \(I_{3}=0, K_{1}=8>0,\) 曲线为一对虚平行直线.
参考资料
[1] 宋卫东 . 《解析几何》，高等教育出版社.
[2] 丘维声编. 《解析几何》. 北京大学出版社.
[2] 吕林根，许子道等编. 《解析几何》. 高等教育出版社.
[3] 吕林根. 《解析几何学习辅导书》. 高等教育出版社.
[4] 谢敬然，柯媛元. 空间解析几何，高等教育出版社
[5] 周建伟 解析几何，高等教育出版社