清‧项名达《下学葊算书》之共轭勾股形说 (7)
清‧项名达《下学葊算书》之共轭勾股形说(7)
上传书斋名：潇湘馆112 Xiāo Xiāng Guǎn 112
何世强 Ho Sai Keung
提要：本文取自清‧项名达着《下学葊算书一》之勾股第六术，主要介绍该书之勾股形之三边算法之不同情况。本文有四题，而此四题之解法皆源自同一模式，其要点为配成一完全平方，经开方后即可求勾股弦之长。
关键词：四因积 长阔较 弦和和 折半 共轭勾股形
以下各题皆取材自《下学葊算书一‧勾股六术‧第六术》。笔者有文已谈及类似题目，名为〈《御制数理精蕴》勾股法之“勾股弦总和较相求法”〉，此文之解题法依《御制数理精蕴》﹝简称为《精蕴》﹞，《精蕴》之解题法迂回，本文之法较直接。
笔者有文名为〈清‧项名达《下学葊算书》勾股“配方术”之一/6〉，本文乃其延续。
注意勾股定理： z2= x2 + y2。下左图为一般之直角三角形图﹝右图为验证数字，各题皆以此三数验证﹞：
在以下各题中，x、y、z为直角三角形三边为未知数，其他字母为已知数。
第六术
〈第五题〉
有股弦和、有弦较较，求勾、股、弦。
解：
题意指有一直角三角形，已知其股弦和，又知其勾股弦之弦较较，求勾、股与弦之长。以下为弦较较之定义：
今弦 = z，第一较字指勾股较 = y – x，第二较字指勾股较与弦之差。较即差。所以弦较较 = z– (y – x) = x – y + z。
今设股弦和z + y = m-------------------------------------------------- (1)
弦较较x – y + z = n -----------------------------------------------------(2)
(1) × (2) 得(z + y)(x+ z – y) = x(z + y) + z2 – y2 = mn------------- (3)
从 (3) 可得xm + x2 = mn
x2 + xm – mn = 0﹝以勾股定理化简上式及移项﹞
依公式解得：
x =
﹝取正号，古时以“带纵较数开方法”﹞。
从 (2) 可得 z – y = n – x
z – y = n –
=
-------------(4)
已知z + y = m------------------------------------------------------------ (1)
从 (1) (4) 两式可知z =
[m+
]
=
。
y =
[m –
]
=
。
设一勾股形x = 8，y =15，z = 17，若 z + y = 32 及x – y + z = 10，又设三边长为未知数，以m = 32 及 n = 10 代入以上诸式，可得：
x =
=
=
=
=
= 8。
y =
=
=
=
= 15。
z =
=
=
=
= 17。
配合预设答案。
《下学葊算书》曰：
法：以股弦和、弦较较相乘为长方积，以股弦和为长阔较，用带纵较数开方算之。四因积，与长阔较自乘相加，开平方得长阔和。和较相加折半为弦和和，相减折半为勾。弦和和弦较较相减折半为股，股减股弦和为弦。
注意以下步骤：
以股弦和、弦较较相乘为长方积，即 (z + y)(x + z – y) = x(z + y) + z2 – y2 = mn，
左方是为“长方积”。
四因积，因即乘，即 4x(z + y) + 4(z2 – y2) = 4xz + 4xy+ 4x2 = 4mn，
长阔较自乘，即 (z + y)2 = z2 + 2zy+ y2 = m2，
以上两式相加，4xz + 4xy + 4x2 + z2 + 2zy+ y2 = (z + y + 2x)2 = 4mn+ m2，注意此式成一完全平方，乃关键之步骤。
开平方得长阔和，即 z +y + 2x = √(4mn + m2) --------------- (5)。
重列 z + y = m是为长阔较----------------------------------------- (1)
相减折半为勾 即
[(5) – (1)]， 得x =
[√(4mn + m2) – m]，
写成 x =
。
相加折半为弦和和 即
[(5) + (1)]， 得
弦和和 z + y + x =
[√(4mn + m2) + m] ------------------------- (6)
弦较较 x +z – y = n---------------------------------------------------(2)
弦和和弦较较相减折半为股，即
[(6) – (2)]， 得
y =
{
[√(4mn+ m2) + m] – n } =
。
股减股弦较为弦，即 y +z – y = z= m –
即 z =
。
答案与前相同。
〈第六题〉
有勾弦和、有弦较和，求勾、股、弦。
解：
题意指有一直角三角形，已知其勾弦和，又知其弦较和，求勾、股与弦之长。以下为弦较和之定义：
弦 = z，较指勾股较 = y – x 。和指勾股较与弦之和，所以弦较和
=z + (y – x) = y – x+ z。
勾弦和 z + x = d-------------------------------------------------------- (1)
弦较和 y – x + z = e ----------------------------------------------------(2)
(1) × (2) 得(z + x)(z – x + y) = y(z + x) + z2 – x2 = de----------- (3)
从 (3) 可得yd + z2 – x2= de，
yd + y2 = de
y2 + yd – de = 0
y =
﹝以公式解，取正号﹞。
因为y – x + z = e，
所以z – x= e – y = e –
，
又因为z + x = d，
从以上两式可知z =
[d +e –
]
=
。
x =
[d – e +
]
=
。
设一勾股形x = 8，y =15，z = 17，若 z + x = 25 及y – x + z = 24，三边长为未知数，以 d = 25 及 e = 24 代入以上诸式，可得：
x =
=
=
=
=
= 8。
y =
=
=
=
= 15。
z =
=
=
=
= 17。
配合预设答案。
《下学葊算书》曰：
法：以勾弦和、弦较和相乘为长方积，以勾和为长阔较，用带纵较数开方算之。四因积，与长阔较自乘相加，开平方得长阔和。和较相加折半为弦和和，相减折半为股。弦和和弦较和相减折半为勾，勾减勾弦和为弦。
注意以下步骤：
以勾弦和、弦较和相乘为长方积，即 (z + x)(z – x + y) = y(z + x) + z2 – x2 = de，
左方是为“长方积”。
四因积，即 4y(z + x) + 4(z2 – x2) = 4yd + 4y2 = 4de，
长阔较自乘，即 (z + x)2 = z2 + 2zx+ x2 = d2，
相加，4yz + 4xy + 4y2 + z2 + 2zx+ x2 = (z + x + 2y)2 = 4de+ d2，
开平方得长阔和，即 z +x + 2y = √(4de + d2) -------- (5)
已知 z + x = d------------------------------------------------- (1)
相减折半为股 即
[(5) – (1)]， 得y =
[√(4de + d2) – d]，
写成 y =
。
相加折半为弦和和 即
[(5) + (1)]， 得
弦和和 z + x + y =
[√(4de + d2) + d] ------------------------ (6)
因为弦较和 y –x + z = e-------------------------------------------(2)
弦和和弦较和相减折半为勾，即
[(6) – (2)]， 得
x =
{
[√(4de+ d2) + d] – e } =
。
勾减勾弦和为弦，即 x +z – x = z= d –
即 z =
。
答案与前相同。
〈第七题〉
有股弦和、有弦和较，求勾、股、弦。
解：
题意指有一直角三角形，已知其股弦和，又知其弦和较，求勾、股与弦之长。以下为弦和较之定义：
已知弦 = z，和指股 + 勾 = y+ x，较指勾股和与弦之差，所以弦和较
=(y + x) – z= y + x – z。
股弦和z + y = f-------------------------------------------------------- (1)
弦和较y + x – z = g---------------------------------------------------(2)
(1) × (2) 得(z + y)(– z + y + x) = x(z + y) – (z2– y2) = fg -------- (3)
从 (3) 可得 xf – (z2 – y2) = fg
– x2+ xf – fg = 0﹝以勾股定理化简﹞
x2 – xf + fg= 0
依公式解得：
x =
﹝取负号，古时以“带纵较数开方法”﹞。
从 (2) 可得– z + y = g – x
– z + y= g –
z – y =
–g -------------------------------------(4)
z + y = f ----------------------------------------------------------- (1)
从以上两式可知z =
[
–g + f]
=
。
y =
[f –
+g]
=
。
设一勾股形x = 8，y =15，z = 17，若 z + y = 32 及y + x – z = 6，设三边长为未知数，以 f = 32 及 g = 6 代入以上诸式，可得：
x =
=
=
=
= 8。
y =
=
=
=
= 15。
z =
=
=
=
= 17。
配合预设答案。
《下学葊算书》曰：
法：以股弦和、弦和较相乘为长方积，以股弦和为长阔较，用带纵较数开方算之。四因积，与长阔和自乘相减，开平方得长阔较。和较相加折半为弦较和，相减折半为勾。弦较和弦和较相加折半为股，股减股弦和为弦。
注意以下步骤：
股弦和、弦和较相乘为长方积，即
(z +y) [–(z – y) + x] = x(z + y) – (z2– y2) = fg，
四因积，即 4x(z + y) – 4(z2 – y2) = 4xz + 4xy– 4x2 = 4fg，
长阔和自乘，即 (z + y)2 = z2 + 2zy+ y2 = f2，
相减，– 4xz – 4xy + 4x2+ z2 + 2zy + y2 = (y + z– 2x)2 = – 4fg + f2，
开平方得长阔较，即 y +z – 2x = √(–4fg + f2) -------- (5)
重列 z + y = f ------------------------------------------------ (1)
相减折半为勾 即
[(1) – (5)]，得 x =
[f – √(–4fg + f2)]，
写成 x =
。
相加折半为弦和较 即
[(5) + (1)]， 得
弦较和 y + z – x=
[f +√(–4fg + f2)] ------------------- (6)
弦和较 y + x – z = g -------------------------------------------(2)
弦较和弦和较相加折半为股，即
[(2) + (6)]， 得
y =
{g +
[ f +√(–4fg+ f2)]} =
。
股减股弦和为弦，即 y +z – y = z= f –
即 z =
。
答案与前相同。
〈第八题〉
有勾弦和、有弦和较，求勾、股、弦。
解：
题意指有一直角三角形，已知其勾弦和，又知其弦和较，求勾、股与弦之长。以下为弦和较之定义：
弦 = z，和指股 + 勾 = y+ x，较指勾股和与弦之差，所以弦和较
=(y + x) – z= y + x – z。
勾弦和 z + x = d------------------------------------------------------- (1)
弦和较y + x – z = g---------------------------------------------------(2)
(1) × (2) 得(z + x)(– z + x + y) = y(z + x) – (z2– x2) = dg -------- (3)
从(3) 可得 yd – (z2 – x2) = dg，
– y2+ yd – dg = 0﹝以勾股定理化简﹞
y2 – yd + dg = 0。
依公式解得：
y =
﹝取正号﹞。
从 (2) 可得 z – x = y – g，即：
z – x =
–g-------------------------------------(4)
z + x = d ------------------------------------------------------- (1)
从以上两式可知z =
[(1) + (4)] =
[d+
– g]
=
。
x =
[(1) – (4)] =
[d –
+g]
=
。
设一勾股形x = 8，y =15，z = 17，若 z + x = 25 及y + x – z = 6，三边长为未知数，以 d = 25 及 g = 6 代入以上诸式，可得：
x =
=
=
=
=
= 8。
y =
=
=
=
= 15。
z =
=
=
=
= 17。
配合预设答案。
《下学葊算书》曰：
法：以勾弦和、弦和较相乘为长方积，以勾弦和为长阔和，用带纵和数开方算之。四因积，与长阔和自乘相减，开平方得长阔较。和较相减折半为弦较较，相加折半为股。弦较较弦和较相加折半为勾，勾减勾弦和为弦。
注意以下步骤：
勾弦和、弦和较相乘为长方积，即
(z +x) [–(z – x) + y] = y(z + x) – (z2– x2) = dg，
四因积，即 4y(z + x) – 4(z2 – x2) = 4yz + 4xy– 4y2 = 4dg，
与长阔和自乘，即 (z + x)2 = z2 + 2zx+ x2 = d2，
相减，– 4yz – 4xy + 4y2+ z2 + 2zx + x2 = (–x – z+ 2y)2 = d2 – 4dg，
开平方得长阔较，即 – x – z + 2y= √(d2– 4dg) -------- (5)
重列 z + x = d -------------------------------------------------- (1)
相加折半为股 即
[(1) + (5)]， 得y =
[d+ √(d2– 4dg)]，
写成 y =
。
相减折半为弦较较 即
[(1) – (5)]，得
弦较较 x + z – y=
[d –√(d2 – 4dg)] ------------------------- (6)
弦和较 y + x – z = g------------------------------------------------(2)
弦较较弦和较相加折半为勾，即
[(2) + (6)]， 得
x =
{g +
[d –√(d2 – 4dg)]} =
。
勾减勾弦和为弦，即 x +z – x = z= d –
即 z =
。
答案与前相同。
又项名达发现本题可以另有答案。
若 y =
﹝取正号﹞，则得已上之答案，但亦可取负号，即：
y1 =
。
z1 – x1 =
–g ----------------------------------- (7)
z1 + x1 = d --------------------------------------------------------- (1)
从以上两式可知z1=
[(1) + (7)] =
[d+
– g]
=
。
x1 =
[(1) – (7)] =
[d –
+g]
=
。
设一勾股形之z1 + x1 = 25 及y1 + x1 – z1 = 6，三边长为未知数，以 d = 25 及 g = 6 代入以上诸式，可得：
x1 =
=
=
=
=
= 10
。
y1 =
=
=
=
= 10。
z1 =
=
=
=
= 14
。
所以勾股形三边长为x1 = 10
，y1 =10，z1 = 14
。
验算：z1 + x1 = 14
+ 10
= 25；
y1+ x1 – z1 = 10 + 10
– 14
= 6，合所问。
笔者称根号取正号所得之勾股形为“标准勾股形”，根号取负号所得之勾股形为“共轭勾股形”。
下图左方为本题之标准勾股形，右方为其共轭勾股形，此两名称不能互换，盖共轭勾股形 X1Y1Z1 之勾大于股，与传统之勾股形定义不同，若强调勾必须少于股，则勾股形X1Y1Z1 未算作答案。
若 √(d2 – 4dg) = 0，则标准勾股形即共轭勾股形。例如一勾股形 x = 3，y = 4，z = 5，若 z + x = 8 及y + x – z = 2。即 d = 8 及 g = 2， 代入 √(d2 – 4dg)，可得 √(64 – 4 × 8 × 2) = 0，即标准勾股形即共轭勾股形，或曰无共轭勾股形。
若 √(d2 – 4dg) 为整数，则共轭勾股形三边长亦必为有理数。
以下为《下学葊算书》之原文：