【一题多解】60°角的对边长为两邻边高的垂足间的距离的2倍

发解题的习惯了之后,不发几个题,感觉不得劲哈。

下面继续发一道几何题。

只要学了初二下的知识,基本就可以搞定了。

【题目】

如图,∠B=60°,AD⊥BC,CE⊥AB,求证:AC=2DE。

【方法一】

取AC的中点F,连接EF与DF。

得EF=DF=1/2AC。

由∠B=60°得∠BAC+∠BCA=120°,

那么∠AFE+∠DFC=120°,

则∠EFD=60°,得△DEF为等边三角形,结论得证。

备注:直角三角形取斜边中点得斜边中线为斜边的一半。

【方法二】

如下图,连接AB与BC的中点G、H,得中位线GH=1/2AC。

只需证明GH=DE即可得到结论。

那么想到的就是利用全等。

根据30°角所对的直角边等于斜边的一半,那么可以得到BE=1/2BC=BH,

同理可得BD=BG,

且公共角为∠B,那么得到两个三角形全等。

备注:证明倍半关系,可以考虑构造中位线。

【方法三】

观察易得△BDE∽△BCA。

那怎么证明呢?

由于AC为两个直角三角形△AEC与△ADC的公共斜边,

易得A、E、D、C四点共圆,那么就可以得到对角互补,

进而得到∠BDE=∠CAE,同理得∠BED=∠ACB,

所以两个三角形相似得证。

那么就可以得到DE/AC=BD/AB=1/2.

结论得证。

备注:有公共斜边的两个直角三角形的顶点共圆。

【方法四】

在上面的基础上,可以得到下面的两个三角形相似。

也就是得到DE/AC=DF/CF=1/2.

备注:如上图,圆内的相交线产生的两个三角形相似(可以得到相交线定理)。

【方法五】

直接建系设点坐标,表示出线段长即可。

设点A、B、C的坐标,得到AB与CE的方程,得点E的坐标,进而得到DE与AC的长度。结果得证。

当然,本题还可以利用高中的正弦定理等方法进行求解,这里就不拓展了。

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