数坛双璧——柯瓦列夫斯卡娅和埃米·诺特（上）
文章作者
赵振江，河南汝州人，1995年毕业于中国科学院系统科学研究所。现任中国科学院自然科学史研究所副研究员。
在整个数学史上，女数学家非常罕见，尤其是在20世纪之前。其中原因，正如高斯（C. F. Gauss）在1807年4月30日写给索菲·热尔曼（Sophie Germain）的信中所说：“一个女性，由于我们的习惯和偏见，会遇到比男性多得多的困难，为了钻研这些[科学]难题，克服外围的障碍并深入到它们最幽微的部分，毫无疑问，她要有无畏的勇气、非凡的才能和过人的天赋。”19世纪和20世纪分别见证了两个杰出的女数学家，她们的贡献在男性称霸的数学世界占了一席之地，赢得了人们的尊敬，她们就是柯瓦列夫斯卡娅和埃米·诺特。
柯瓦列夫斯卡娅和埃米·诺特堪称数坛双璧，一方面，她们有不少类似之处：家庭条件比较优越，有良好的智力和克服困难的勇气，在数学上都取得了令人瞩目的成就，又都是在创造力处于巅峰时突然去世。另一方面，她们也有很大差异：生活在不同的文化环境中，柯瓦列夫斯卡娅有激进的政治思想，诺特深受宗教影响。前者貌美，一生有多人相助，爱好很多，生前就声名显赫；后者相貌平平，虽然才华横溢，但求职、晋升都很困难，一生专注数学，心无旁骛，至死也没有得到应有的承认。
READING
柯瓦列夫斯卡娅（1850—1891）
贵族小姐，1850—1867
索菲娅·瓦西列夫娜·柯瓦列夫斯卡娅(Софья Васильевна Ковалевская)1850年1月15日生于莫斯科，父亲是沙皇军队中的将军而且是大地主，母亲是在18世纪定居俄国的德国移民的后代。在家中，柯瓦列夫斯卡娅排行第二，上有一个比她大6岁的姐姐，下有小她5岁的弟弟。索菲娅在祖国的教育是她那个时代她所属的阶级的小姐所受的典型教育：由保姆和家庭女教师照管和教育，英语和法语说得几乎和母语一样好。
当索菲娅大约6岁时，她们家搬到靠近俄罗斯和立陶宛边境的帕利比诺庄园居住。由于地处偏远的乡下，糊墙的纸一时短缺，就用她父亲年轻时购买的书页，后来她回忆道：
幸运的巧合是，初次糊墙的纸是石印的奥斯特罗格拉茨基（М. В. Остроградский）的微积分讲义，这是我父亲年轻时买的。这些书页散布着奇怪的不可思议的公式，不久就吸引了我的注意力。我记得······我数小时地站在这神秘的墙面前，试图破解哪怕是一个句子，发现书页的前后顺序。尽管我当时根本不可能弄懂这些内容，但长时间的注视使得许多公式的形状在我的记忆中留下了不可磨灭的印象，其内容也深深刻在我的脑海中。
喜爱数学，似乎是柯瓦列夫斯卡娅家的传统，她的曾祖是数学家和天文学家，祖父是数学家，父亲对数学和自然科学有广泛的了解。索菲娅对数学和科学的喜爱似乎源于她的一个舅舅，他在国防部任职，在姐姐的庄园住了较长一段时间，他经常与这位外甥女谈数学和哲学。索菲娅家的邻居有一位物理学教授，她从他家里借了一本物理学书，不明白书中的三角公式，就自己推导。结果让这位教授大为震惊，他说服索菲娅的父亲让她学习三角学和微积分。
1866年，索菲娅随母亲到德国和瑞士旅行，买了一架小显微镜，观察植物和昆虫的细胞。次年，索菲娅全家在彼得堡过冬。在彼得堡期间，她跟教育家斯特兰诺柳布斯基（A. N. Strannoliubskii）学习高等数学。
当时俄国流行民粹主义，索菲娅深受姐姐的影响，也成为一个民粹主义者。这对她后来在瑞典求职有不利影响，因为瑞典当局害怕得罪沙皇。
尽管柯瓦列夫斯卡娅有明显的数学天赋，她也无法在祖国完成她的教育。因为在当时专制的俄国，不允许妇女上大学，为了到国外完成大学学业，年轻的女子需要得到她们父亲（或丈夫）的书面允许。当时在俄国贵族小姐中流行的作法是“假婚”，即和一位男子达成协议，他愿意举行婚礼。“假婚”之后她的父亲不再有管辖权，而她的“丈夫”遵守道义约束，与她只保持精神上的关系，允许这位妇女追求自己的生活。
1868年9月，柯瓦列夫斯卡娅与毕业于莫斯科大学古生物系的弗拉基米尔·柯瓦列夫斯基（Владимир Онуфриевич Ковалевский，1842—1883）“结婚”。次年他们一起出国。
留学时期，1869—1874
1869年5月，弗拉基米尔和柯瓦列夫斯卡娅到达海德堡，下车伊始，他们就直奔海德堡大学，办理听课事宜。海德堡大学当局比较开明，允许她听课，而且大多数自然科学方面的著名教授也比较配合，如基尔霍夫（G. Kirchhoff）、亥姆霍兹（H. von Helmholtz）和柯尼希斯贝格尔（L.Königsberger）。10月，她和弗拉基米尔访问伦敦。弗拉基米尔和进化论的创始人达尔文（C. Darwin）和赫胥黎（T.Huxley）共度了一段时光，柯瓦列夫斯卡娅则受邀参加女作家艾略特（G.Eliot）的星期日沙龙，在这里她与哲学家斯宾塞（H.Spencer）就“女性抽象思维的能力”展开辩论。
在经过一个冬季的紧张学习之后，柯瓦列夫斯卡娅在1870年春到巴黎看望姐姐。此时她和弗拉基米尔的关系相当紧张，虽然学业进展良好，她还是希望在生活上得到姐姐的帮助。虽然未能如愿，柯瓦列夫斯卡娅决心尽快完成学业，获得博士学位。
1870年10月初，带着海德堡大学教授们的推荐信，柯瓦列夫斯卡娅到达柏林。柯尼希斯贝格尔推荐她跟自己的老师、伟大的数学家魏尔斯特拉斯（K.Weierstrass）学习。第一次见到柯瓦列夫斯卡娅，魏尔斯特拉斯对她要求学习数学感到吃惊，他给了她一些题目。在一周之内，柯瓦列夫斯卡娅拿着答案来找魏尔斯特拉斯，她表现出的才能吸引了这位伟大的数学家。他写信告诉他的瑞典学生米塔格·莱夫勒（G.Mittag-Leffler），说她具有的直觉能力，即使在他的更为年长、更为成熟的学生中也是罕见的。
尽管有魏尔斯特拉斯和他一些杰出的同事的努力，柏林大学评议会仍拒绝柯瓦列夫斯卡娅在该校听课。不过，柯瓦列夫斯卡娅的才能已给魏尔斯特拉斯留下了深刻印象，他决定私下指导柯瓦列夫斯卡娅。单独指导加强了两人之间的联系，他们之间发展出一种温暖的个人和学术关系，魏尔斯特拉斯认为她是他最有才华的弟子，她视他若父，这种关系对柯瓦列夫斯卡娅非常重要，并且一直保持到她辞世。
柯瓦列夫斯卡娅非常勤奋，在1871—1874年的3年时间，除了在巴黎公社期间做了5个星期的医护和因为“丈夫”误解而与他争吵之外，她集中精力做数学研究。到1874年春，柯瓦列夫斯卡娅已写出三篇论文：涉及偏微分方程的《关于偏微分方程理论》（Zur Theorie der partiellen Differentialgleichung），论述土星环的《对拉普拉斯的土星环形状研究的评论和补充》和关于阿贝尔积分的《论一类3阶阿贝尔积分化为椭圆积分》。根据魏尔斯特拉斯的意见，其中的每一篇都可获得博士学位。但为了慎重，魏尔斯特拉斯决定用这三篇文章为柯瓦列夫斯卡娅申请博士学位，因为毕竟是史无前例。其中的第一篇最为重要，它推广了柯西（A. L. Cauchy）关于偏微分方程解的存在性的定理，被认为是偏微分方程一般理论的第一个重要结果，现在以柯西－柯瓦列夫斯卡娅定理而知名。该定理最简单形式是: 形为
p=f(x, y, z, q)
的任意方程，这里p=∂z/∂x，q=∂z/∂y，而且函数f在(x0, y0,z0,q0)附近解析，有一个且仅有一个在(x0, y0)附近解析的解z (x, y)，且
z (x0, y)=g(y),
这里g(y)在y0解析，而且g(y0)= z0，g'(y0)=q0。
1874年8月，由于魏尔斯特拉斯等人的推荐，在缺席的情况下，柯瓦列夫斯卡娅以优秀成绩被格丁根大学授予博士学位。她是欧洲第一个在数学方面获得博士学位的女性。这年秋天，柯瓦列夫斯卡娅和丈夫回到俄国。9月底，在柯瓦列夫斯卡娅娘家的帕里比诺庄园举行了庆祝她的命名日的盛大聚会。
写作论文时的劳累，使柯瓦列夫斯卡娅筋疲力尽。在娘家休息几个星期之后，她和丈夫来到彼得堡，希望进入科学界，在大学或科学院获得职位。他们都有博士学位，柯瓦列夫斯基的博士学位是在1872年3月从耶拿大学得到的。但他们的求职并不顺利，尤其是柯瓦列夫斯卡娅还有性别的原因，他们都没有得到适合他们的职位。
远离数学，1875—1878
求职无望，经济上的困境使这对年轻人企图通过商业投机获得经济上的独立。回国后柯瓦列夫斯卡娅不想再研究数学，原因是她说的“没有这种气氛”，虽然她还与魏尔斯特拉斯通信讨论数学问题，也出席彼得堡科学界的一些会议，但与数学已渐去渐远。很快，柯瓦列夫斯卡娅成了典型的上流社会淑女，出入歌剧院和戏院，每星期在家招待客人。在和柯瓦列夫斯基作了7年假夫妻之后，他们在1875年的上半年开始了正常的夫妻生活。
社交界的浮华和生意场上的成功并没有让柯瓦列夫斯卡娅高兴多久。1875年9月，她的父亲去世，悲痛使她离开了数学，魏尔斯特拉斯试图使柯瓦列夫斯卡娅重返数学研究的想法由于她拒绝写信而没有成功。从这年10月到1878年8月，魏尔斯特拉斯没有从这位学生那里得到只言片语。生意场上的初步成功潜藏着危险，柯瓦列夫斯基也没有从以前经营出版社亏损的教训中清醒过来，他们夫妇不谨慎地投资房地产。柯瓦列夫斯卡娅社交圈在不断扩大，1876年，米塔格·莱夫勒来访，他试图引起她对数学的兴趣，但没有成功。
1878年10月17日，柯瓦列夫斯卡娅的女儿出生。分娩后，她病了几个月。更糟糕的是，他们在房地产上的投资破产了。三年来，她远离数学，沉浸在浮华的社交生活中，到了梦醒的时候了。柯瓦列夫斯卡娅决定回到数学上来。因为对数学的喜爱已融入她的血液，只不过环境让她暂且忘却。她已在女儿出生前的两个月恢复了与魏尔斯特拉斯的通信，请求他的指导。
漂泊，1879—1883
除了与魏尔斯特拉斯通信，柯瓦列夫斯卡娅还寻求本国数学家切比雪夫（П. Л. Чебышев）的帮助。第六届俄罗斯自然科学家和医学家大会将在1879年底在彼得堡召开，切比雪夫建议她为大会准备一个报告。柯瓦列夫斯卡娅找出一些自己以前研究中没有发表的关于阿贝尔积分的结果，并译成俄文交给大会的数学组。米塔格·莱夫勒也参加了这次会议，他对柯瓦列夫斯卡娅的才能深信不疑，决心为她谋求一个职位。
在拍卖家产之后，柯瓦列夫斯基夫妇离开彼得堡，到莫斯科居住。柯瓦列夫斯卡娅想让丈夫从生意失败中振作，回到古生物学研究上，但没有成功。他日益孤僻，时而高兴，时而沮丧。
1880年10月，柯瓦列夫斯卡娅把女儿托付给朋友照看，只身来到柏林，去看昔日的老师魏尔斯特拉斯，她已下决心重返数学研究。老师建议她做晶体介质中光传播的研究。次年，柯瓦列夫斯卡娅和丈夫分居，带着女儿来到柏林，想做一个职业数学家。
1882年3月，柯瓦列夫斯卡娅在巴黎送女儿和保姆返回俄国。在巴黎期间，由于米塔格·莱夫勒的帮忙，她结识了几位著名的法国数学家，如埃尔米特（C.Hermite），庞加莱（H.Poincaré）。7月，柯瓦列夫斯卡娅被选为巴黎数学会会员。
在国外期间，虽然柯瓦列夫斯卡娅在晶体介质中光的传播和刚体绕定点旋转这两个问题取得一些进展，但依旧前途未卜。幸运的是，有人在柯瓦列夫斯卡娅困难的时候伸出了援助之手。她的恩师魏尔斯特拉斯在柏林为她租房子，米塔格·莱夫勒从1881年起就尝试为她找一份工作，先是在赫尔辛基，然后是在斯德哥尔摩。
1883年4月，柯瓦列夫斯基由于事业失败而自杀。消息传来，柯瓦列夫斯卡娅异常震惊，她拒绝进食，以致昏厥。但恢复知觉后，她又开始进行研究。正是这个时候，她完成了光折射问题的研究。这一年的夏天和秋天，柯瓦列夫斯卡娅在莫斯科办理丈夫的后事。8月底，她向第7届俄罗斯自然科学家和医学家大会提交了论文。9月初，柯瓦列夫斯卡娅从在魏尔斯特拉斯那里得到消息，经过米塔格·莱夫勒的不懈努力，她得到了瑞典斯德哥尔摩大学的无薪讲师（Privatdocent）职位，试用期一年。
柯瓦列夫斯卡娅很快接受这一职位，并在1883年11月15日离开彼得堡，乘船经芬兰去斯德哥尔摩。当时，柯瓦列夫斯卡娅是整个欧洲拥有大学教职的唯一的一位女性。两天后，她到达目的地。瑞典的报纸对她的到来表示欢迎。柯瓦列夫斯卡娅拥有出色的语言才能，到瑞典两个星期，她的瑞典语已相当流利。米塔格·莱夫勒告诉她，有12名学生听她的课。柯瓦列夫斯卡娅作了认真准备，课题是偏微分方程——一个她曾作出贡献的领域。
最后岁月，1884—1891
1884年1月30日，柯瓦列夫斯卡娅在斯德哥尔摩大学上她的第一堂课，用德语讲授偏微分方程，尽管紧张，但讲课很成功。到柯瓦列夫斯卡娅去世7年间，她沉浸在数学生活的各个层面——科学的、社会的、政治的。1884年6月，她的职位进一步提高，担任斯德哥尔摩大学教授，任期5年。在这一年，她还担任新创办的期刊《数学学报》（Acta Mathematica）的编辑，与欧洲数学家保持通信联系。
在教学和编辑刊物之外，柯瓦列夫斯卡娅继续研究刚体绕定点旋转的问题。由于这个问题的困难性，她预计要用5年的时间。在行星运动之外，牛顿(I.Newton)力学的最辉煌的成就之一是欧拉（L.Euler）得到的描述在引力作用下一个刚体围绕一个定点运动的方程——欧拉方程。日常生活中的一个例子是旋转着的陀螺的运动。陀螺相对于一个定点的位置和速度由6个变量的q描述，3个表示位置，3个表示速度，它们满足方程组
qt= f(q)。
该方程组的一个不变量或积分是一个函数g(q)，它在运动下，即满足（gq, f）=0时使得dg（q）=0。能量和所有的旋转运动给出两个不变量，当存在与这两个无关的第三个不变量时，可以证明这个方程组是可积的，即可通过积分求解。欧拉发现重心是定点时方程组是可积的，拉格朗日（J. L.Lagrange）发现当物体是旋转对称，且附着在旋转轴上的一个点时方程组也是可积的。柯瓦列夫斯卡娅的研究目标是发现新的可积条件。
法国数学界甚为看重柯瓦列夫斯卡娅在刚体旋转方面的工作。1886年，在《法国科学院报告》（Comptes Rendus）上发布了一则消息：
鲍廷奖（Prix Bordin）
（为1888年提的问题）
“以某个重要的观点改进刚体运动的理论。”该奖是价值3000法郎的一枚金质奖章。参加竞赛的论文手稿应在1888年7月1日前寄给科学院的秘书；随寄密封的信封，其中写有作者的姓名和地址。信封仅当它对应的论文得奖时才被打开。
在紧张准备竞赛论文的时候，柯瓦列夫斯卡娅的姐姐病重了。1886年夏，她到彼得堡看望姐姐。在1886—1887学年，柯瓦列夫斯卡娅极为忙碌：为女儿雇保姆，教课，关注姐姐的健康，撰写论文，还有社交。她认识了俄国历史学家马克西姆·柯瓦列夫斯基（Максим Ковалевский），他是柯瓦列夫斯卡娅已故丈夫的远房亲戚，后来他们发展了亲密的关系。马克西姆目睹了柯瓦列夫斯卡娅为研究刚体问题而忘我地工作。1888年夏，柯瓦列夫斯卡娅把她的论文寄给巴黎科学院。12月24日，米塔格·莱夫勒接到来自巴黎的电报：“鲍廷奖授予柯瓦列夫斯基夫人······”。此时，柯瓦列夫斯卡娅和马克西姆在巴黎等待竞赛结果。柯瓦列夫斯卡娅获奖，实至名归。由于她的结果如此出色，鲍廷奖委员会决定将奖金从原定的3000法郎提高到5000法郎。经过5年的艰苦劳动，终于获奖，柯瓦列夫斯卡娅非常高兴。她和马克西姆一起出席授奖仪式，参加法国科学院的宴会。
柯瓦列夫斯卡娅获奖论文的标题是《论刚体围绕一个定点旋转的问题》。在这篇论文中，柯瓦列夫斯卡娅发现了新的可积情形，但不如欧拉和拉格朗日发现的情形那样易于描述。在这项研究中，柯瓦列夫斯卡娅的出发点相当简单，她要求所有的变量是时间t的幂级数，然后乘以t的一个负的幂。经过相当复杂的计算，给出了对物体和其运动的限制，这蕴含着存在第三个变量且可求积，位置变量是时间t的椭圆函数。她的发现现在以“柯瓦列夫斯卡娅陀螺”著称。柯瓦列夫斯卡娅的论文是一项显著的成就，后来证明欧拉、拉格朗日和柯瓦列夫斯卡娅发现的三种情形是仅有的可能的情形。用现在的术语来说，绝大多数刚体围绕定点的运动是混沌的。
柯瓦列夫斯卡娅小时曾迷恋作家陀思妥耶夫斯基（Ф. М. Достоевский），在远离数学时期，她曾向杂志投稿，回忆她与女作家艾略特的交往。在紧张研究刚体问题时期，她仍没有完全忘记文学，写回忆录，与别人合写剧本。
由于柯瓦列夫斯卡娅的出色成果，再加上米塔格·莱夫勒的成功斡旋，1889年6月，她被委任为斯德哥尔摩大学讲座教授。她也是近代欧洲第一个拥有这种职位的女性。柯瓦列夫斯卡娅想在祖国的大学获得一个职位，但没有成功。不过，由于切比雪夫等三位著名科学家的推荐，她还是得到了来自祖国的荣誉。12月，柯瓦列夫斯卡娅当选为俄罗斯皇家科学院通讯院士，她是历史上第一个获得此项殊荣的女科学家。
在接下来的一年多的时间，柯瓦列夫斯卡娅除了教课，她的主要精力用于文学创作。1890年，她的《童年回忆》和《传略》发表。同年11月，柯瓦列夫斯卡娅离开斯德哥尔摩，和马克西姆在巴黎过圣诞节。然后，他们去了法国南方。在热那亚，她着凉了。当回到斯德哥尔摩时，她的病情已比较严重。但她还是在1891年2月6日给学生上课。很快，柯瓦列夫斯卡娅的病情恶化，并在2月10日去世，享年仅41岁。她葬在瑞典斯德哥尔摩的一座公墓里。
柯瓦列夫斯卡娅在创作力旺盛的时候英年早逝，使全欧洲的数学家和知识分子感到震惊和悲痛。在斯德哥尔摩的许多学者参加了柯瓦列夫斯卡娅的葬礼。米塔格·莱夫勒的兄弟写了一首诗纪念柯瓦列夫斯卡娅，称她为“天上的缪斯”：
当土星环仍在闪耀
当人们还在呼吸
世界会永远记忆
你的名字
1948年，苏联科学院编辑出版柯瓦列夫斯卡娅的《科学著作集》，把她的全部10篇论文译成俄文。1951年是柯瓦列夫斯卡娅诞生100周年，苏联和瑞典分别在莫斯科和斯德哥尔摩举行纪念活动，苏联还发行了纪念邮票。月球上的一个环形山用她的名字命名。德国亚历山大·冯·洪堡基金会设立索菲娅·柯瓦列夫斯卡娅奖，从2002年开始颁发。
未完待续
文章选自：数学与人文·第四辑