如何理解傅立叶级数、傅立叶变换公式？
此前在尝试给对傅立叶级数、傅立叶变换进行过稍微直观点的解释。本文会对公式进行细节的、代数上的解释。
1 对周期函数进行分解的猜想
拉格朗日等数学家发现某些周期函数可以由三角函数的和来表示，比如下图中，黑色的斜线就是周期为 的函数，而红色的曲线是三角函数之和，可以看出两者确实近似：
而另外一位数学家：
让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶男爵（1768 －1830）猜测任意周期函数都可以写成三角函数之和。
2 分解的思路
假设 是周期为 的函数，傅里叶男爵会怎么构造三角函数的和，使之等于 ？
2.1 常数项
对于 这样的常数函数：
根据周期函数的定义，常数函数是周期函数，周期为任意实数。
所以，分解里面得有一个常数项。
2.2 通过进行分解
首先， 是周期函数，进行合理的加减组合，结果可以是周期函数。
其次，它们的微分和积分都很简单。
然后， 是奇函数，即：
从图像上也可以看出， 关于原点对称，是奇函数：
而奇函数与奇函数加减只能得到奇函数，即：
其中， 表示奇函数。
而 是偶函数，即：
从图像上也可以看出， 关于 轴对称，是偶函数：
同样的，偶函数与偶函数加减只能得到偶函数，即：
其中， 表示偶函数。
但是任意函数可以分解和奇偶函数之和：
所以同时需要 。
2.3 保证组合出来周期为
之前说了， 是周期为 的函数，我们怎么保证组合出来的函数周期依然为 呢？
比如下面这个函数的周期为 ：
很显然， 的周期也是 ：
的周期也是 ，虽然最小周期是 ：
很显然， 的周期都是 ：
更一般的，如果 的周期为 ，那么：
这些函数的周期都为 。
将这些函数进行加减，就保证了得到的函数的周期也为 。
2.4 调整振幅
现在我们有一堆周期为 的函数了，比如说 ：
通过调整振幅可以让它们慢慢接近目标函数，比如 看起来处处都比目标函数低一些：
把它的振幅增加一倍：
有的地方超出去了，从周期为 的函数中选择一个，减去一点：
调整振幅，加加减减，我们可以慢慢接近目标函数：
2.5 小结
综上，构造出来的三角函数之和大概类似下面的样子：
这样就符合之前的分析：
有常数项
奇函数和偶函数可以组合出任意函数
周期为
调整振幅，逼近原函数
之前的分析还比较简单，后面开始有点难度了。即怎么确定这三个系数：
3的另外一种表示方法
直接不好确定，要迂回一下，先稍微介绍一下什么是： ？
3.1
看到复数也不要怕，根据之前的文章，看到类似于 这种就应该想到复平面上的一个夹角为 的向量：
那么当 不再是常数，而是代表时间的变量 的时候：
随着时间 的流逝，从0开始增长，这个向量就会旋转起来， 秒会旋转一圈，也就是 ：
3.2 通过表示
根据欧拉公式，有：
所以，在时间 轴上，把 向量的虚部（也就是纵坐标）记录下来，得到的就是 ：
代数上用 表示虚部：
在时间 轴上，把 向量的虚部记录下来，得到的就是 ：
如果在时间 轴上，把 的实部（横坐标）记录下来，得到的就是 的曲线：
代数上用 表示实部：
在 的图像中，可以观察到旋转的频率，所以称为频域；而在 中可以看到流逝的时间，所以称为时域：
4 通过频域来求系数
4.1 函数是线性组合
假设有这么个函数：
是一个 的函数：
如果转到频域去，那么它们是下面这个复数函数的虚部：
先看看 ，其中 是常数，很显然这是两个向量之和：
现在让它们动起来，把 变成流逝的时间 ，那么就变成了旋转的向量和：
很显然，如果把虚部记录下来，就得到 ：
4.2 函数向量
前面画了一大堆图，就想说明一个观点， 是向量，并且是旋转的向量。
而根据欧拉公式，有：
从图像上看：
所以 也是向量。
称为函数向量，并且函数向量的点积是这么定义的：
其中， 是函数向量， 是 的周期。
关于函数向量，关于函数向量的点积，更严格的讨论可以参考无限维的希尔伯特空间。
4.3是线性组合
虽然比较仓促，让我们先接受 是函数向量，那么它们的线性组合得到的也是函数向量：
根据刚才的点积的定义有：
根据点积的代数和几何意义（关于点积的几何意义可以参考）， 说明了，这两个函数向量正交、线性无关，是正交基。
如果写成这样：
可以理解为 在正交基 下的坐标为 。
4.4 如何求正交基的坐标
我们来看个例子，假设：
其中
通过点积：
可知这两个向量正交，是正交基。图示如下：
在基 下的坐标为 ，其中在基 下的坐标可以通过点积这么来算（对于正交基才可以这么做）：
4.5 如何求基下的坐标
对于：
其中， 是向量， 是正交基，周期 。
所以是正交基，那么根据刚才的分析，可以这么求坐标 上的坐标：
4.6 更一般的
对于我们之前的假设，其中 周期为 ：
可以改写为这样：
也就是说向量 是以下正交基的线性组合：
是的， 也是基。
那么可以得到：
也可以通过点积来表示，最终我们得到：
其中：
5 傅立叶级数的另外一种表现形式
根据欧拉公式：
我们可以推出：
根据上式，我们可以写出傅立叶级数的另外一种形式：
其中：
解读一下：
对于复数函数，定义的点积为：
其中， 为复数函数， 是 的共轭，所以 的代数表达式中有一个负号。
顺便说一下，这样定义点积是为了保证：