中考数学压轴题分析：旋转面积最值

中考中手拉手问题出现的频率还是比较高的。本文内容选自2020年山东潍坊市中考数学的倒数第2题。考查两个共直角顶点的等腰直角三角形旋转产生的问题。套路模型题，难度不大，但也值得研究。

【中考真题】

（2020·潍坊）如图1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC1，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE＝1，连接DE．现将△ADE绕点A顺时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α＜360°），如图2，连接CE，BD，CD．
（1）当0°＜α＜180°时，求证：CE＝BD；
（2）如图3，当α＝90°时，延长CE交BD于点F，求证：CF垂直平分BD；
（3）在旋转过程中，求△BCD的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数．

【分析】

题（1）证明两线段相等，只需要把线段进行加减运算即可。

题（2）证明CF垂直平分BD，只需要证明CD=CB，且DE=BE即可，利用垂直平分线的判定可求。

题（3）要求△BCD的面积最大值，由于点D在以A为圆心，AD为半径的圆上进行运动，只需过点A作BC的垂线段即可，当DA垂直BC时，高度最大或最小，此时△BCD的面积取到最大值或最小值。

【答案】（1）证明：如图2中，根据题意：AB＝AC，AD＝AE，∠CAB＝∠EAD＝90°，
∵∠CAE+∠BAE＝∠BAD+∠BAE＝90°，
∴∠CAE＝∠BAD，
在△ACE和△ABD中，

，∴△ACE≌△ABD（SAS），
∴CE＝BD；
（2）证明：如图3中，根据题意：AB＝AC，AD＝AE，∠CAB＝∠EAD＝90°，
在△ACE和△ABD中，
，
∴△ACE≌△ABD（SAS），
∴∠ACE＝∠ABD，
∵∠ACE+∠AEC＝90°，且∠AEC＝∠FEB，
∴∠ABD+∠FEB＝90°，
∴∠EFB＝90°，
∴CF⊥BD，
∵AB＝AC，AD＝AE＝1，∠CAB＝∠EAD＝90°，
∴BCAB，CD＝AC+AD，
∴BC＝CD，
∵CF⊥BD，
∴CF是线段BD的垂直平分线；
（3）解：△BCD中，边BC的长是定值，则BC边上的高取最大值时△BCD的面积有最大值，
∴当点D在线段BC的垂直平分线上时，△BCD的面积取得最大值，如图4中：

∵AB＝AC，AD＝AE＝1，∠CAB＝∠EAD＝90°，DG⊥BC于G，

∴AGBC，∠GAB＝45°，
∴DG＝AG+AD，∠DAB＝180°﹣45°＝135°，
∴△BCD的面积的最大值为：，
旋转角α＝135°．