昨天送教，我们三组的专家孙雪飞老师在讲座中引用了大量新加坡小学数学教科书内容，选取其中“方框图”的例子论述“以形助教”，给我很深的印象，特别感谢她！
新加坡小数教材大量使用条形图（方框图）的情况，我不是第一次听闻，但是听过后很快就会淡忘，此次孙老师的重点推介让我将“心动”强化在意识中，并有持续关注和转化成“行动”的计划。下面选一个例子来分析。如下图，孙老师引用了一个常见的稍复杂问题：小明今年12岁，妈妈的年龄是小明年龄的3倍，爸爸比妈妈大5岁，小明爸爸比小明大几岁？
1.这个问题含有三个数量：小明的年龄（已知12岁），妈妈的年龄（未知），爸爸的年龄（未知）；
2.这个问题直接已知两个数量关系：妈妈的年龄与小明的年龄之间存在直接关系是3倍；爸爸的年龄与妈妈的年龄之间存在直接关系大5岁。
再看要求问题：
爸爸比小明大几岁？
很显然，问题是要弄清楚爸爸的年龄与小明的年龄之间的数量关系，而问题中没有直接呈现这个关系。
怎么解决这个问题？
也就是怎么找到爸爸年龄与小明年龄之间“大几岁”的数量关系？
先来看我们大陆教学中的常见方法：
根据文字呈现的条件信息一步步求出：
妈妈的年龄：12×3=36（岁）
爸爸的年龄：36+5=41（岁）
爸爸比小明大几岁：41-12=29（岁）
再来看新加坡教科书中利用方框图的解决方法：
用方框图画出问题中的条件和问题，利用图示的直观性很容易找出爸爸年龄与小明（Tom）年龄之间的直接关系：爸爸年龄比小明（Tom）大2倍还多5岁。
列式就是：12×2=24（岁）24+5=29（岁）
现在，让我们来比较两种解决方法，最大的不同在哪里？上面大陆的常见方法，也不错啊，直接根据文字一步步就算出结果，不用费事画图，很好啊！但问题是：直接想，学生容易找到新加坡教科书中这样的方法吗？也就是，学生能不能很轻松就找出爸爸年龄与小明年龄之间的“大几岁”的数量关系？很难！因为需要跨过中间数量即妈妈的年龄，仅凭头脑想，小学生是难以完成的。
而画出方框图表征问题之后，以上困难就迎刃而解！
感谢图示的直观方便！有时候我们也会借助列方程来解决这样的问题，从某种意义上说，方程法和画图法都是给学生提供了一个好用的思维工具，这是另外的话题了。
需要注意的是：如果学生愿意，完全可以选择采用大陆常用的这种方法，这在图示中也能很明显地看出来！并且，我们不能排除有些比较弱的学生连前面所说一步步推算的常见方法也是难以理解和掌握的，这时候需要图示的帮助。
好了，到这儿，相对于直接算，方框图的优势已经比较清楚了。接下来，我们可以进一步讨论：与大陆常用线段图相比，这种方框图有什么优势？1.方框图比线段图更具体一些，即线段图的抽象程度较高，这也是课改之前人教版数学教科书一般不会在低年级出现线段图的原因之一吧？至于课改后包括新人教版在内的一些教科书在低年级就引入线段图的做法，个人持保留意见。所以，方框图比线段图在小学阶段的适用范围更广，低中高年级都可以用。下面几点认识，可能更多是我个人的观点，摆出来请各位斟酌：2.方框图比线段图的适用范围更广，还包括：当遇到有两个数量存在乘除关系的情况时，线段图往往就力不从心，而方框图则如鱼得水。什么意思？举例子：画图表征乘法、面积等问题时，你会选用什么图？当然，此时的方框图与上面年龄问题中的方框图的用法是不一样的。本质上，上面问题中的方框图其实与线段图是同质的，都只用到了一个维度，只不过方框图用具有厚度的长条代替线段来表征那个维度罢了。或者说，这时候的方框图有一个维度没有起实际作用，它的作用是便于抽象能力不高的小学生接受进而运用。到了表征乘法时，方框图就要同时用到两个维度了，即长表示一个因数，宽表示另一个因数。3.方框图更有利于与学具操作相结合，从而更适合小学生学习数学。什么意思？比如学习分数概念，先让学生折一折、涂一涂表示出一张纸条的四分之一，汇报展评时，画图记录结果，此时就很自然用到方框图，而不是线段图，因为如果你用线段图还需要让学生经历一个图形抽象的过程，会分散学生的精力，不利于聚焦分数概念的构建。这里插一个话题，课堂上的很多细节都具有很强的教学和教育意义，细节决定效果。拿画图记录操作来说，画什么样的图？怎么画？谁来画？怎么与操作呼应？怎么帮助学生数学化？等等都非常有讲究的，不是随意那么一笔就可以的。今天没有时间深谈这个话题，以后有机会我再说说。当然，线段图有线段图的优势，我们千万不要在认知上走绝对。比如说，在认识数概念、建立数系的时候，线段图就最适合，由数线到数轴，才可以实现点与数的一一对应。而且更有趣的是，这种一维线图通过建立十字坐标实现二维化，产生平面与数对，再通过增加十字坐标实现三维化，产生空间等。庞大壮阔精美的解析几何世界向我们张开了双臂！一想到这些，我就会不自觉地为数学世界的神奇与美妙深深沉醉！不是吗？朋友，你有没有感受到数学的无与伦比的思维之趣？你是否同我一样赞叹数形结合那惊人的真理和美？
