压轴题打卡3：分类讨论有关的二次函数综合应用问题

如图1，抛物线y=ax²+bx+3经过点A（﹣3，0），B（﹣1，0）两点，

（1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线的顶点为M，直线y=﹣2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D，现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上，若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；

（3）如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q（0，3）作不平行于x轴的直线交抛物线于E．F两点，问在y轴的负半轴上是否存在一点P，使△PEF的内心在y轴上，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

参考答案：

考点分析：

二次函数综合题。

题干分析：

（1）根据抛物线y=ax²+bx+3经过点A（﹣3，0），B（﹣1，0）两点，代入解析式求出即可；

（2）由（1）配方得y=（x+2）²﹣1，利用函数平移①当抛物线经过点C时，②当抛物线与直线CD只有一个公共点时，分别分析求出；

（3）由点E．F的坐标分别为（m，m²），（n，n²），得出m+n=km·n=﹣3，利用作点E关于y轴的对称点R（﹣m，m²），作直线FR交y轴于点P，

由对称性知∠EFP=∠FPQ，此时△PEF的内心在y轴上，求出即可．

解题反思：

此题主要考查了二次函数的综合应用以及三角形内心的特点，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合以及分类讨论是这部分考查的重点也是难点同学们应重点掌握．