重庆市南开中学高2021届月考第12题:函数的综合问题

重庆·云师堂

萧瑟秋风,廖廓江天,重庆,依旧是阴雨绵绵。

掐指算来,2020年已不足两月。时间蹉跎,浑然不觉。

我想,大家更关心的是即将到来的半期考试。担忧没有必要,考好了,是学习努力的回馈;考不好,是出题人的不合时宜。

锅是有得甩的,虽然没什么用,但可以暂时遗忘眼下的痛苦。

1  围观

一叶障目,抑或胸有成竹

本题是一道函数综合题,考查函数的性质以及导数的应用。

三角函数结合导数是高考的热点,利用导数工具研究三角函数的单调性、极值、最值、零点、不等式等问题,具有良好的区分度。

多选题的出现,扩大了考试范围,同时也增加了答题时间。不过,通过近期考试发现,多选题反而增加了得分。尤其是中低档学生,当作单选来做,选一个有把握的,得3分比扣5分要划算得多。

2  套路

手足无措,抑或从容不迫

奇偶性是函数的整体性质,判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称。利用奇偶性,可将定义域内的性质缩小在对称区间内研究,下面考虑x》0的情况。

另外,y=x是奇函数,y=sinx也是奇函数,故f(x)=xsinx是偶函数。无论哪种方法,最顺手的就是最好的。

回到本题,A选项很容易判断,3分唾手可得,对基础薄弱的学生,不失为得分良策。但如果手抖,不小心选了B,那就玩完。

否定结论,只需一个反例。

周期函数每隔相同的周期,函数值重复出现,其图象完全重合。而本题实际上是周期倍增函数,当x》0时,f(x)的函数值在sinx的基础之上扩大x倍,其图象逐渐拉伸,与原图象相似。

导数的正负决定原函数的增减,而二阶导数的正负决定导函数的增减,并且决定原函数的凹凸。

若可导函数的导数存在唯一的零点,则原函数存在唯一的极值点。这里不要求极大值、极小值,所以不必判断函数的单调性。

注意,这里的原点(0,0)不一定是切点,所以需要另设切点(“在点”与“过点”的差别:在点一定是切点,过点不一定是切点)。

另外,y=0即x轴与y=f(x)切于原点,y=f(x)的图象介于y=x与y=-x之间,切点有无穷多个。

3  脑洞

浮光掠影,抑或醍醐灌顶

通过上述分析,不难作出y=f(x)的图象:

(1)f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称;

(2)f(x)不是周期函数,当x>0时,随着x的增大,其波动幅度也越大;

(3)y=f(x)的图象在两切线y=x与y=-x之间反复振荡,并且f(x)的三条切线均穿透y=f(x)的图象。

4  操作

形同陌路,抑或一见如故

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