行程问题-往返相遇问题

纵观近两年的行程问题，我们发现命题人为了加大考试难度，使相遇追及问题复杂化，因此往返相遇型应运而生。

那么什么是往返相遇问题呢，举个最简单的例子，甲、乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米。如果他们同时分别从直路两端出发，当他们跑了10分钟时，那么在这段时间内共相遇了多少次？因此，往返相遇问题往往涉及到相向和同向“行走”以及“碰面相遇”和“追及相遇”等问题。那么接下来我们一一来介绍一下这两种小题型。

一、相向而行（左右点出发）

我们先来看这样一道例题。

【例1】A大学的小李和B大学的小孙分别从自己学校同时出发，不断往返于A、B两校之间。现已知小李的速度为85米/分钟，小孙的速度为105米/分钟，且经过12分钟后两人第二次相遇。问A、B两校相距多少米？（ ）

A.1140B.980

C.840D.760

【解析】当遇到复杂行程问题时我们往往会通过图示法来更清晰的了解运动对象的运动轨迹。由题意可画图如下：

图1 图2

红线表示小李所走的路程，黑线表示小孙所走的路程，因此当小李和小孙第一次相遇的时候甲乙所走的总路程为AB之间的距离；当两人相遇后，继续往前走，直到第二次相遇（见图2），可得两人所走的总路程为3倍AB之间的距离，理清两人的运动轨迹后，这道题就很简单了，直接运用相遇问题公式得到3s=（v1+v2）t，得到s=760米。所以得到选项D。

在本题中涉及到的是两次相遇，我们可以继续画图会发现当第三次相遇时，两人总路程为5s，由此可以推出，当第N次相遇，路程和=（2N-1）×S。

那当第N次追上相遇呢，什么是追上相遇，很简单，见图1，假设乙的速度非常非常缓慢，所以当甲从A地出发，到达B地后返回追上乙的过程，那么在这个过程中，甲比乙正好多走了一个总路程，以此类推，当第N次追上相遇时，路程差=（2N-1）×S。

由上综述，我们可以得到以下结论：当甲乙两人从左右点出发时，第N次迎面相遇时，路程和=（2N-1）×S。第N次追上相遇时，路程差=（2N-1）×S。

二、同向而行（同一点出发）

我们还是先来看一道例题。

【例2】小张、小王二人同时从甲地出发，驾车匀速在甲、乙两地之间往返行驶。小张的车速比小王快，两人出发后第一次和第二次相遇都在同一地点，问小张的车速是小王的几倍？（ ）

A.1.5B.2

C.2.5D.3

【解析】本题我们需要注意的是小张、小王是从同一地点开始出发的，由题意可画图如下：

图1 图2

红线代表的是小张走的路程，棕色代表的是小王走的路程，由图1我们可以得到两人第一次相遇所走的总路程为2S，即两倍甲乙两地的距离。图2表示两人第二次相遇的运动轨迹，我们可以得到第二次相遇两人所走总路程为4S。所以第二次相遇的时间是第一次相遇的2倍。那么对于同样的一段路，小王花了相当于小张两倍的时间才到达，所以小王的车速是小张的一半，因此选择B。

通过本题我们可以得到同向而行过程中，第N次迎面相遇时，路程和=2N×S，那第N次追上相遇呢，大家可以自己尝试下，会发现第N次追上相遇时，路程差=2N×S。

以上是我们总结的关于往返相遇问题的四个公式，那么大家在以后做题的时候不需要再画图推导，只要搞清楚他们的运动轨迹，运用公式就可以迎刃而解了。同学们，有没有事倍功半呢？