中考数学压轴题分析:相似与线段数量关系

本文内容选自2021年益阳中考数学几何压轴题。题目以圆为背景,涉及证明线段数量关系的问题。


【中考真题】

(2021·益阳)如图,在等腰锐角三角形中,,过点作于,延长交的外接圆于点,过点作于,,的延长线交于点.
(1)判断是否平分,并说明理由;
(2)求证:①;
②.


【分析】

(1)只需根据角平分线的定义进行证明即可,根据圆的内接四边形对角互补可以得到∠AEF=∠ABC,再根据圆周角定理可以得到∠AEB=∠ACB,那么就可以由等腰得到想要的结论了。

(2)①通过全等进行证明线段的数量关系。

②遇到线段乘积,优先考虑相似。但是对于BD²与DE²的处理不好转化,找不到一个合适的直角三角形用勾股定理进行转化。

借助①中的结论,可以得到BD²﹣DE²=(BD+DE)(CF-EF)=BE·DE。

再结合AE与EG,可以发现如果等证明△AEB∽△GEC即可。根据角度的关系易得结论。
【答案】解:(1)平分,理由如下:


又,

,,


平分,
(2)①由(1)知:平分,
,,

在和中,



②由(1)知,,
,,

,,



,,





即.

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