再谈几何模型
本文结合《几何明珠》(黄家礼编著,国家行政学院出版社 2014 出版)里一道著名的难题谈几何模型。这个问题就是所谓的汤普森问题,解法序号是原书里的。原解法比较简略,笔者加了一些注解。
已知:,, 。求:
针对这道题,我要说的第一点是,一道几何题往往涉及的不止是一种模型,可能需要很多种模型综合运用,才能得到结果。
解 3:
以 为边作等边 , 交 于 。
则 (通过计算各角度数得知 和 都是等腰三角形),因而 ,
又 ,,
所以 ,故 。
故有 ,又 ,
可知 ,故有 。
这里就用到了等边(等腰)三角形和相似三角形的结论。
其次,同一道题选取的模型不同,解法就不同。
解 9:
延长 至 ,使 ,则 为等边三角形,再在 上截取 ,则有 (通过计算角度知道 是等腰三角形,)
(前者, 后者)
得出 ,所以 ,又 (因为 ,其中 在前一解法中已经解释过),可知 。
从而可得到 ,所以 ,所以 。
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