质数与合数（6）

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我们今天来看难一点的质数与合数哦。

数学中的难题，基本都是综合体，即把杂七杂八的知识点串起来得到的题目。很多时候初学者往往只能单线程作业，对于并行处理题目中的不同知识点存在很大困难，别说是对小学生了。

来看具体例子：若n为正整数，n+6和n+10都是质数，求n除以3所得的余数。

当然，这个题目改一改，说n+3和n+7都是质数，证明这样的质数对有无穷多个，那世界范围内也没人会做——毕竟这是孪生质数猜想等于4的情形，现在好像最好的结果也不过是200多一点，距离解决还早的很呢。

由于是小学内容，所以我们肯定要从小学生的角度来考虑。

n除以3以后，余数有几种情况呢？

这就是余数的知识点了。我们知道，任何一个整数n的余数都有n情况，对于3来说，余数有0,1,2三种。

如果余数为0，此时n恰好是3的倍数。那么n+3显然也是3的倍数，所以无论如何不会出现质数；

如果余数为1，也就是n=3p+1，那么此时n+3=3p+4,n+10=3p+11，看不出来有啥；

那就放一放呗。谁规定必须每步都能看出点名堂的？

如果余数是2，n=3p+2，此时n+6=3p+8,n+10=3p+12，必然是3的倍数，所以余数一定是1了。

当然，这个并不代表一个整数除以3余1就一定能让上面两个数为质数哟。

是不是很有意思？

我们再来看一个：

求证：超过40的偶数都可以表示成两个奇合数之和。

啧啧，要是把这个题目中的合数改成质数，那就是哥德巴赫猜想了，别说小学生了，所有的数学工作者集体也要撞墙了。

这个题目看起来真的难爆了。

为什么？

因为比40小的最大的偶数就是38，

38=3+35=5+33=7+31=9+29=11+27=13+25=15+23=17+21=19+19，看到没有，完美地躲过了！

但是问题是，40以上的偶数有多少？

无穷无尽啊！难道都像38这样一个个验证？

所以必然是找一个通用的做法。

像这样子找一个满足题设条件的做法，我们称为构造法。

构造法是数学中难度最大的一类题目。因为需要一定的想象力和创造力，这个训练起来可费时间了，而且不同的孩子差异就能体现地淋漓尽致——还是那句话，努力就好。

构造法是一个实验的过程。

我的想法是，如果能把这两个奇合数的形式猜出来，有没有这种可能呢？

这个猜测是靠谱的，但是也等于没说，因为题目就是要干这个事。关键是怎么猜？

我们想这样一个问题，偶数能不能分类？如果可以，怎么分比较合适呢？

偶数的结尾的数0,2,4,6,8,而且两个末位数相同的偶数之差一定是10的整数倍，而10是5的倍数，所以我们有没有可能把这些基数写成5k+p，其中p是奇合数，而k是奇数的形式呢？

先来看2，第一个数是42，按照上面的想法，由于5k必然是5结尾，所以另一个数是7结尾。以7结尾的第一个合数是27，所以所有的2结尾的大于40的偶数都可以写成5k+27!（k大于等于3）

那么0的话呢，就是15+5k(k大于等于5)，4结尾的话9+5k（k大于等于7）,6结尾的话21+5k(k大于等于5)，8的话33+5k（k大于等于3）。

迎刃而解。

那怎么想到偶数的结尾分类？我就是觉得应该是这样的——当然我可以胡编出一些所谓的道理，但是那都是根据结果来推的，所以就是忽悠。

很多人止步于对偶数的分类，那咋办？

就这样呗。。。毕竟不是每个题都是所有孩子能做出来的。

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