级数证明法的应用（三）

6、“级数法”证明凹函数： y=(1+1/x)^x（x＞0）.

（1） y′/y=∑(n=2…∞)(1/n)/(1+x)ⁿ.

=(m→∞)∑(n=2……m)(1/n)/(1+x)ⁿ.

=(m→∞)f(m，x).（x＞0）.

（2） y′′/y=(m→∞){[f(m，x)]²-∑(n=2……m)[1/(1+x)ⁿ⁺¹]}

=(m→∞){[f(m，x)]²-g(m，x)}＜0？（x＞0）.

（3）(m→∞){f(m，x)-√[g(m，x)]}＜0？（x＞0）.

用数学归纳法证之——（x＞0）.

当m=2时，f(2，x)-√[g(2，x)]=(1/2)/(1+x)²-√[1/(1+x)³]＜0，明显成立。

假设m=k(k≥2)时，f(k，x)＜√[g(k，x)]①，也成立。

证明当m=k+1时，f(k+1，x)＜√[g(k+1，x)]，成立。

即  f(k，x)+[1/(k+1)]/(1+x)^k+1＜√[g(k，x)+1/(1+x)^k+2]②，成立。

只需证明 [1/(k+1)]/(1+x)^k+1＜√[g(k，x)+1/(1+x)^k+2]-√[g(k+1，x)]③，成立(①+③=②)。

同解变换，(1+x)√[g(k，x)+1/(1+x)^k+2]+(1+x)√[g(k+1，x)]＜1+k

由于左式是减函数，只需证明 x=0的不等式成立即可。

即k≥2时，  2√k＜1+k，明显成立。故得证。