中考数学压轴题分析：直角三角形折叠问题

本文内容选自2021年邵阳中考数学压轴题。题目涉及直角三角形的折叠，通过折叠得到边角的关系，难度不大，不过也值得欣赏。

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【中考真题】

（2021·邵阳）如图，在中，点为斜边上一动点，将沿直线折叠，使得点的对应点为，连接，，，．
（1）如图①，若，证明：．
（2）如图②，若，，求的值．
（3）如图③，若，是否存在点，使得．若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由．

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【分析】

（1）根据垂直，可以得到PB′与AB平行，进而得到PB′=AB′，得到四边形ABPB′为菱形，那么就可以得到结论了。难度不大。

（2）求三角函数值必须要有直角三角形。图中∠B′AC并没有在一个直角三角形内，因此需要考虑作垂直构造直角三角形。可以过点B′作AB的垂线，也可以过AC与B′P的交点作AB′的垂线。再根据等腰直角三角形的边角关系和勾股定理可以得到结论。

（3）当AB=CB′时，可以得到AB′＝CB′，也就是说翻折后的点B′在AC的垂直平分线上，可以分为在AC的左侧或右侧两种情况讨论。然后再根据垂直平分得到边角关系进行求解。
【答案】解：（1）证明：，，
．
，
又由折叠可知，
．
故．
（2）设，、交于点，如答图1所示，

则为等腰直角三角形，
，，，
由折叠可知，，
又，
，
又，
△．
．①
设，则．
，
，
由①得：．
解得：．
过点作于点，则△为等腰直角三角形．
，
．
又．
．
（3）存在点，使得．理由如下：
，．
．
①如答图2所示，

由题意可知，点的运动轨迹为以为圆心、为半径的半圆．
当为中点时，，
又，
为等边三角形．
又由折叠可得四边形为菱形．
，
．
又，
则易知为的垂直平分线．
故，满足题意．
此时，．
②当点落在上时，如答图3所示，

此时，
则，
，
．
综上所述，的值为或．