中考数学压轴题分析：锐角三角形的存在性问题

本文内容选自2021年温州中考数学压轴题，题目一反常态，涉及锐角三角形的存在性问题，题目涉及比较综合，注重数学能力的考查。

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【中考真题】

（2021·绍兴）如图，矩形中，，点是边的中点，点是对角线上一动点，．连结，作点关于直线的对称点．
（1）若，求的长；
（2）若，求的长；
（3）直线交于点，若是锐角三角形，求长的取值范围．

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【分析】

（1）比较简单，比例特殊角的边角关系即可。

（2）当PE与BD垂直时，需要分类讨论。因为点P可以分为在DE的上方或下方两种。此时可以利用EF平分∠DEP，得到特殊角，构造直角三角形进行求解即可。

（3）本题是锐角三角形的存在性问题，要求DF的取值范围。难度略大。问题主要在于点F的位置变化时，点P与点Q的位置会发生比较大的变化。也是需要进行分类讨论。动画演示如下图：

当点P、Q同侧，且与点D在EF的异侧时，是一种情况。当点运动到点B时处于一种临界状态，点F若继续往B运动，此时P、Q在EF的异侧。都有可能会存在锐角三角形。而与点D、E构成直角三角形的点，其实可以用“两线一圆”进行解决即可。先找到为直角三角形的点，进而再求锐角三角形时的点。

如上图，当点Q位于圆外且∠QED不为直角时是锐角三角形。找到临近点即可。

【答案】解：（1）点、点关于直线的对称，，
点在上，

四边形是矩形，
，
，．
，
点是边的中点，
，
，
；
（2）①如图2，

，．
，
由对称可得，平分，
，
是等腰三角形，
，
，．，
，
，
，
；
②如图3，

，．
，
由对称可得，，，平分，
，
，
是等腰三角形，
，
，
，．，
，
；
的长为2或6；
（3）由（2）得，当时，（如图或6（如图，
当时，
第一种情况，如图4，

平分，
，
过点作于点，设，则，，
，
，，
；
第二种情况，如图5，

平分，
，
过点作于点，设，则，，
，
，，
8' data-formula-type='inline-equation'>，
最大值为8，
．
综上，长的取值范围为或．