第15讲 典型例题与练习参考解答：罗尔定理与拉格朗日中值定理
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第15讲：罗尔定理与拉格朗日中值定理
例题与练习题
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习1：设，且在内可导，证明至少存在一点，使得
练习3：证明方程有且仅有一个实根.
练习4：试问方程有几个根，它们分别分布在什么区间内？其中
证明：至少存在一点，使得.
练习6：设可导，证明： 的两个零点之间一定有的零点.
练习7：设在上连续，在 内可导，且. 证明：存在，使得
练习9：设在内可导，且恒为零，则在内恒为常数.
练习10：证明以下等式成立.
练习11：证明不等式
练习14：设, . 证明：对任意的,，有
证明：(1) 至少存在一点 ，使得 ；
(2) 若对一切，有，则当 时，恒有.
【注】参考解答一般仅是提供一种思路上的参考，过程不一定是最简单的，或者最好的，并且有时候可能还有些许小错误！希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望学友们能不吝指出！如果有更好的解题思路与过程，也欢迎通过后台或邮件以图片或Word文档形式发送给管理员，管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！
例题与练习参考解答
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习1：设，且在内可导，证明至少存在一点，使得
【参考解答】：改写所需验证的等式，有
令，则由题设可知在上连续，在内可导，且
在上 满足罗尔定理的条件，故由罗尔定理可知，存在，使得
即所需验证的等式成立.
练习2：设函数在内可导，且．试证明在内至多只有一个不动点，即方程在内至多只有一个实数根．
【参考解答】：(反证法) 令，假设原方程存在两个根, ，则
由题设可知在上满足罗尔定理的条件，故由罗尔定理知，至少存在一点 ，使
即，从而与已知中 矛盾，故假设不成立，即方程在内至多只有一个实数根.
练习3：证明方程有且仅有一个实根.
【参考解答】：(1) 存在性. 【思路一】 令，则
又函数在区间连续，故由闭区间上连续函数的零点定理知，存在 ，使得. 故方程存在零点.
【思路二】 令
则
于是由闭区间上连续函数的零点定理知，存在，使得. 又，则函数在上满足罗尔定理的条件，故由罗尔定理知，存在，使得
故原方程存在零点.
(2) 唯一性. 【思路一】 假设原方程存在两个零点，, ，在上应用罗尔定理知，至少存在一点，使得
这不可能. 故至多有一个实根.
【思路二】 由于，故函数严格单调增加，所以函数 仅有一个零点，即原方程仅有一个实根.
练习4：试问方程有几个根，它们分别分布在什么区间内？其中
【参考解答】：由题设可知， 由四个零点，故两两之间由罗尔定理， 必存在零点，所以方程有3个根，并且分别分布在区间, , 内.
练习5：设在内可导，且
证明：至少存在一点，使得.
【参考解答】：构建辅助函数
则由题设可知， 满足罗尔定理的三个条件，故由罗尔定理，至少存在一点，使得
【注】：该结论也称为罗尔定理的推广，没有特殊要求，可以直接应用该结论解题.
练习6：设可导，证明： 的两个零点之间一定有的零点.
【参考解答】：设, 是的两个零点，即
令，则由题设可知， 在上连续，在内可导，并且
故在上满足罗尔定理的条件，于是由罗尔定理知，存在 ，使得
即所证结论成立.
【注】：常见的几种结构及辅助函数的构造：
练习7：设在上连续，在 内可导，且. 证明：存在，使得
【参考解答】：令 ，则由题设可知， 在上连续，在内可导，并且由可得
故在上满足罗尔定理的条件，于是由罗尔定理知，存在 ，使得
即所证结论成立.
练习8：判定函数在区间上是否满足拉格朗日中值定理的条件，如果满足，求出对应的中值点.
【参考解答】：由初等函数的连续性和可导性知，函数在区间 上满足拉格朗日中值定理的条件. 于是由拉格朗日中值定理定理，存在，使得
练习9：设在内可导，且恒为零，则在内恒为常数.
【参考解答】：在内取定一点，再在 内任意取一点，则在区间 （或区间）上可导，满足拉格朗日中值定理的条件，于是至少存在一点介于 与之间，使得
因为，从而. 这说明在内，函数恒为常数.
【注】：根据这一结论可知：如果两个函数的导函数相同，则两个函数仅仅相差一个常数.
练习10：证明以下等式成立.
【参考解答】：(1) 构造辅助函数
则在内，有
又当时，得
故在区间内，. 当，可得. 故结论成立.
(2) 构造辅助函数
则在内，有
又当时，得
故在区间内，. 所以所证等式成立.
【注】：这两个结论要能够记住，并且解题中要能够用！
练习11：证明不等式
【参考解答】：令，则在 上满足拉格朗日中值定理的条件，故由拉格朗日中值定理，在上有
又因，故得
从而可得
练习12：设，证明：
【参考解答】：改写不等式，则原不等式等价于
于是令，则其在上满足拉格朗日中值定理的条件，故由拉格朗日中值定理定理，有
由于，故所证不等式结论成立.
练习13：设在上连续，在 内二阶可导，又若的图形与联结, 两点弦交于 点，证明在内至少存在一点，使得.
【参考解答】：在区间及上对分别应用拉格朗日中值定理知，必有, ，使得
依题意，三点共线，故直线和的斜率相等，即上面两式右端相等，故有
再在区间上对应用罗尔定理知，至少存在一点 ，使得 .
练习14：设, . 证明：对任意的,，有
【参考解答】：不妨设，则由拉格朗日中值定理，有
故原不等式成立.
练习15：设函数在上具有二阶导数，且满足
证明：(1) 至少存在一点 ，使得 ；
(2) 若对一切，有，则当 时，恒有.
【参考解答】：(1) 令，则由条件知
由拉格朗日中值定理，存在和，使得
再由拉格朗日中值定理，存在，使得
即存在， 使得.
(2) 若存在使得，则
又，所以由介值定理知，在 和之间存在，使得. 又 ，所以由罗尔定理，存在, 使得
再由罗尔定理，存在，使得，即，此与已知条件矛盾.
而当时，则，又 ，故两次应用罗尔定理，可知存在，使得，即，同样与已知条件矛盾.
综上可知，当时，恒有.
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