中考真的不考阿波罗尼奥斯圆吗？2017哈中考题26，隐形的阿氏圆
阿波罗尼斯圆是一个很神奇的模型，之前我也介绍过了，
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今天来看一道与之有关的哈题
这道题是2017哈尔滨中考倒数第二题，我感觉难度适中，对于熟悉阿圆模型的人来说可以说非常简单。
第一问没什么好说的，就是垂径定理的一个逆命题之一，注意垂径定理的五个元素（垂直，直径（过圆心），平分弦，平分优弧，平分劣弧）知二推三（平分+直径时被平分的不能是直径，否则不成立无法推三）。
第二问：其实也很简单，角度关系而已，角P是一个动态的圆周角，必然要把它转化为一个不动的角。这里利用圆的内接四边形对角互补将其和角E联系。等式中的两角差：（角APB-角OMB）并没有在题图中体现出来，最好转换一下等式，变为：角APB=角OMB+90度，角OMB+90度在图中是有对应的角的，也就是角COE，然后只需证明角COE=角APB即可，同角的补角相等。
第三问：看起来还是一如既往的玄乎，但是我很快就找到思路，问MP/MQ，显然MP/MQ为定值，MP/MQ=MP/6PD,所以MP/PD也为定值，求出它即可。P为圆弧动点产生比值为定值的模型，乃就是阿波罗尼斯圆啊。
阿圆其实就是构造共边子母相似，以半径为共边，圆心到另外两个端点的长度为另外两边，他们的乘积等于共边的平方（共边相似的特点）。
那么我们就连接半径构造共边相似。
这个相似怎么证呢？就是用共边相似的特点。另两边的乘积等于共边的平方，如图中也就是，OD乘OM=OP方。显然成立，不信你看右边，直角三角形BOM中有垂线BD根据射影定理（或者相似）则OD乘OM=OP方。然后就差不多。圆O为MD 的阿圆，PD/PM恒为定值（是多少？）
计算MP/PD=OP/OD=下略
总结拓展，第三问由比值为定，动点又在弧上，我们可以想到阿圆。回看证明阿 圆的过程，发现说明是阿圆的过程与角DBO的正弦无关，也就是无论角DBO是多少度都会产生阿圆模型。并且阿圆线段的比就是sin角DBO。这就提供了一种，已知圆，以它为阿圆，自己确定线段比，就能画出对应的线段。这样一来不仅可以已知阿圆、比例，画对应线段，还可以已知线段、比例，画对应阿圆。（怎么画自己思考）
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