无限小量简史
来自《数学通报》2001 年第 03 期
近世科技得益于微积分这门数学分支良多。无限小量的概念是微积分学的基础。虽然“无穷小”方法已经被古希腊和古代中国、印度和中世纪欧洲的科学家以各种不同方式顺利地用来解决几何学和自然科学中的问题，但是无穷小理论的基本概念的确切定义直到19世纪才被提出来。
“无穷小”的思想实际上最初是在哲学范围内提出的，无论是在古希腊还是在中国都是如此。哲学家对“无穷小”进行了一定的论述，这正是“无穷小”方法得以在古希腊和古代中国的科学发展中应用的思想基础。
在数学上无穷是一个经常出现的概念。简单地说它是有限性概念的反义词。人类对无穷的认识和刻画经历了漫长的时间。“在无穷小概念的现代处理方法出现以前的思想是这样的，有限量是由无穷多个‘不可分量’组成的，这样的不可分量不是作为变量而是作为比任何有限量都小的常量。这种思想的例子之一是从有限到无限的非常规分解：唯一有意义的过程是把一个有限量划分成个数无限增加而大小无限减小的组成部分”。这就是体现在古代的关于无穷的内涵。
大约在公元前5世纪，关于自然界，即物的本质， 在希腊学者中有两派对立的看法。一派是一元论，以巴门尼德（Parmenides）为首，一派是多元论，以德谟克利特（Democritus）为首，数学家毕达哥拉斯也属于这一派。一元论者认为存在之物是不可分的，一切变化都是幻觉。多元论者则认为物质是可分的，变化是真实的，并且把它理解为各部分的重组。物质可分的思想导致了原子的概念，原子具有有限的大小并且不可再分。
但是物的所有变化都是在空间进行的，因此空间本身也应该是可分的，不仅如此，空间的分割没有理由不能一迳继续下去，换言之，空间不能想象为由大小有限的、像原子那样的部分所组成，它的“最后”部分必须是“无限小”的。
可分的概念应用在物质和空间上造成了一对矛盾。巴门尼德的最聪明的弟子，埃利亚的芝诺（Zeno，他可能也是最聪明的希腊人之一，这或许是科学发展的不幸），抓住这个矛盾，提出了一系列悖论。虽然他的著作没有流传下来，但是亚里士多德为了批判芝诺，在其《物理学》中记下了芝诺的论点。针对一个量（如时间、空间、长度等）可以无限可分的观点，芝诺提出了两个悖论。其中之一是二分说（dichotomy ）：一个物体，从A地到B地，永远不能到达。因为想从A到B，首先要通过道路的一半；但要通过一半，必须通过一半的一半，即道路的1/4；要通过1/4，必须先通过1/8，这样分下去，永无止境。针对量是不可以无限分割观点，芝诺又提出了两个悖论，其中之一是飞箭静止说：如果时间分割到最后，得到不可再分的单元，那么在这个单元内，飞箭只能占据一个特定的位置，因此它是不动的。否则，若占据两个不同的位置，则可以将时间单元再分割为前后两段，这和原先的假设不合，于是所谓运动，只是许多静止的总合。通过悖论，芝诺辨证地论证了现实的一体性和恒常不变性。由此可以推出运动和空间的无限可分是一对矛盾。
当时的希腊人解决不了芝诺提出的悖论。亚里士多德以形而上学的方式论辩说，没有人能把空间分割成数目无限的部分，但是他并没有驳倒芝诺，后来欧多克索斯（Eudoxus ）建立了适合于一切量（可公度量及不可公度量）的比例论，回避了无理量和无穷小的困难。
希腊最伟大的数学家欧几里得和阿基米德都没能逃脱亚里士多德在学术上的统治。欧氏几何体系僵硬，避开了计算曲线围成的面积的问题，阿基米德实际上用无限小量计算出至今仍通用的圆面积公式，但他也避开提及无限小量。
阿基米德用圆内接正96边形的面积去“接近”圆的面积。直观地，两个面积的差应该是一个很小的量，最后可以忽略不计。而正多边形的面积最后就“转化”为圆面积。
而在古代中国，早在先秦百家争鸣期间，墨家、道家、名家等都提出了各自关于无穷小和无穷分割的论述。其中后期墨家在《墨经》中对无穷小分割的观点与古希腊德谟克利特的原子论十分相近[5，263]。“无穷小”方法在中国古代数学中的具体体现就是无穷小分割。公元3世纪，中国古代最伟大的数学家刘徽不仅将这种方法应用在求圆周率的计算中，而且还用以解决圆面积公式和阳马、鳖臑体积公式等问题上。刘徽对于无穷小方法的应用比阿基米德更广，他还用于推导公式。但是，从本质上讲，他们都忽略了无穷小量，无穷小量并没有出现，而是包含于他们处理问题的方法之中，那时，人们所掌握的数学方法还没有到能将无穷小量逻辑地表述清楚。
这样无限小量在历史上第一次被流放，没有了无限小量，关于运动的研究便无法进行，因为定义不了速度的概念。希腊关于自然的研究从此停滞不前。
中古时代，无限小和无限大只能寄身在神学的范围内。无限小量的应用虽然遭到禁绝，但作为概念它还未被扼杀。这里由于柏拉图的思想还有着连绵不绝的影响。柏拉图和亚里士多德不同，并不把存在局限在通过感官认识的世界中，但是由于这时期中对后世影响最大的宗教哲学家圣奥古斯丁（Saint Augustine）对无限性的偏爱（在他那里， 无限性和神性几乎是一致的），反而使后来的许多哲学家和数学家，如开普勒、巴斯卡等一直没能清除无限小所带有的神秘色彩。
直到文艺复兴时期，经过伽利略、开普勒、费马和巴斯卡诸人的努力，无限小才回到了关于运动的研究中。运动学，一门把物体表现为运动在无限可分的时间和空间里的学问，被建立了起来。牛顿说：“如果我看得更远，那是因为我站在巨人的肩膀上。”这几位学者正是形成巨人肩膀的主要人物。
但是伽、开、费、巴诸人都没有真正把无限小量驯服，因为他们都没有彻底摆脱欧几里得体系的羁约。直到17世纪60和70年代牛顿和莱布尼兹发明了微积分，才彻底解决了无限小量的归宿问题。而数学也不再由几何学独占，而是支撑在几何学和微积分学这两根支柱上。
牛顿把微积分学应用在物理学和天文学上，建立了运动三大定律，计算出行星的轨道。这是科学史和文明史上旷古未有的成就。它激发了18世纪以理性为标榜的启蒙运动，资产阶级革命和工业革命继之而来，它们彻底改变了人类社会的面貌。
牛顿在运动和重力方面的研究，已经取得了空前的成就。运动定律中最关键的一个环节是瞬时速度这个概念的提出，它被定义为两个“小到几乎消失”的量的比或分数：分子是代表距离的量，分母是代表时间的量。这个概念是微分学的核心内容，它的基础则在于对无穷小量，也就是小到近乎消失的量（也不妨说就是微量，两个微量形成的分数就是微商）的更为成熟的理解。为了计算行星轨道，牛顿想到了一个绝妙的办法。他把轨道分成无数多个小段，通过太阳的重力在这些小段上对行星速度的作用，他就能把这些小段整合成要计算的轨道。整合小段这个过程就是积分，计算得到的结果是惊人的：行星轨道都是椭圆，而太阳正居于两个焦点中的一个。这一结果与开普勒给出的经验定律完全一致。
这时候无穷小是导数（作为无穷小量的商）和积分（作为无穷小量之和）定义的基础，被认为是“潜在的”。无限小在微积分中暂时安下家，却并没有解决它的存在问题，因为它实际上只是游移在可能性与实存在性之间。哲学家们继续着热烈的争辩。其中最尖锐的批判来自贝克莱主教：“无限小量是数量逸去之后的幽灵。”但这时期的多数科学家们则不为无限小量的本质问题烦心，他们继承了牛顿的遗产，继续把微积分学这门新的学科应用在科学的发现上，取得了累累的硕果。18世纪被称为科学发现的黄金时代。
到了19世纪，科学发现的热潮已经过去，数学家们有更多的时间来考虑一个基本的问题：科学的大厦不应该建筑在一个从形而上学看来是有问题的基础上。数学有责任对贝克莱主教的责难给出完满的解答，数学家责无旁贷，从1801到1872年，几位杰出的数学家柯西（A.Cauchy），魏尔斯特拉斯（K.Weierstrass）和戴得金（R.Dedekind）为微积分学建立了一个新的体系，在这体系中，作为基础的概念不再是无限小量而是新引入的“极限”。无限小量被绕开了。微积分学有了一个至少在逻辑上是无懈可击的基础，而无限小量则再度遭到流放。
柯西体系是至今大学教材仍在沿用的体系。它预示着数学将不再把基础建立在物理学或现实世界上而是逻辑学上。可是直到1965年A ·鲁滨逊（Abraham Robinsen）出版他的《非标准分析》之前，谁也没有想到逻辑学的发展重又把无限小量赎回。
柯西体系在文明史上同样有着巨大的影响。首先，无限小量的概念不再是必须的。因此哲学上关于它的存在性的争论也就失去了凭依。其次，戴得金的工作打破了关于数的连续性的传统看法，数不是通过无限小量“光滑地”粘靠在一起，而是任意两个数都可以被隔开。这个思想深刻地影响到哲学上的宇宙观：从一个事件“光滑地”过渡到下一事件的思想受到了怀疑。余波所及，文坛（乔依斯（注：乔依斯（J.Joyce，1882－1941年），爱尔兰小说家及诗人.小说《尤里西斯》多次被推为本世纪最有影响的作品。）、惠特曼（注：惠特曼（W.Whitman，1819－1892）美国诗人））、艺坛（余拉（注：余拉（G.Seurat，1859－1891）法国画家，新印象主义的创始人。））和乐坛（荀柏格（注：荀柏格（A.Schoenberg，1874－1951），奥－匈音乐家，首创以十二音阶。））相继出现了以不连续为特征的作品，用艾威尔德（见参考文献[2]）的话说，是新的连续概念触发了现代主义。
逻辑学的进一步发展使存在的问题让位给真的问题。在逻辑学大师哥德尔（K.Godel）工作的基础上， 鲁滨逊建造了一个包括无限小量（以及常规的数之外的一切奇异实体）的结构，亦即数学模型，并引用哥德尔的完全性定理推断出这模型中的全部述语（或命题）是真的。鲁滨逊把这模型称为“非标准宇宙”以区别于只含常规数的“标准宇宙”。属于非标准宇宙的微积分学就是“非标准分析”。在非标准分析中，无限小量像常规数一样参加计算，使微积分回到了牛顿和莱布尼兹时代的直观。在这模型中，过去无限小量引起的矛盾可以完全避免，因为在其公理系统中，并没有“它小于一切正数”的表述。非标准分析不仅比柯西体系的微积分更为直观和方便，也在许多领域里，如物理学、概率论、经济学等，有更合适的应用。
但是鲁滨逊最大的贡献还是在于最终解开了两千多年来围绕着无限性这个概念的疑团。使得它不再具有任何神秘性。当然，无限小量的存在问题仍然没有解决，不少人认为，不含不相容性的数学对象应该具有超越我们感官世界的真实存在。鲁滨逊早年也倾向于这一柏拉图的哲学，但晚年又回到莱布尼兹的观点，即认为无限小量应该被看作一个“合理的虚构之物”。有一点是确定的，不论无限小量拥有什么样的存在，这存在丝毫不逊于常规的数一正数、负数、有理数、无理数等等一所拥有的。现代逻辑学告诉我们，我们所拥有的语言根本就不能把充满了无限小量的非标准宇宙和不含它们的标准宇宙分开。
“还有一点，非标准分析可以用来解答一个微妙的问题，那是以前研究经典分析时遇到的，即如果无穷小量和无穷大量都被看成是不合逻辑的概念，它们怎么能够成为一座最重要的数学科学大厦的基础呢？”[6，237]。
数学又一次赎回了无限小。这一次它会为人类的文明史带来什么呢？无限小量是否已经找到了永久的栖身之地呢？这些大概要让下个世纪来为我们解答了。