微积分先驱|天体力学的奠基者开普勒
我曾神算天机，巧妙测量大地。而今灵魂升天，身躯留此安息。
“开普勒在积分学方面初步的一些尝试，是作为测量酒桶容积的’量积术’，也就是对表面为曲面的物体体积的计算方法进行了系统的阐述。”——冯·诺尹曼
“我珍视类比胜于任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然的奥秘，在几何学中它应该是最不容忽视的。”——开普勒
开普勒是德国天文学家、数学家，1571年12月27日生于符腾堡州魏尔，1630年11月15日卒于巴伐利亚州雷根斯堡。
开普勒出生于一个新教徒家庭，父亲酗酒成性，后又入伍当兵。开普勒自幼体弱多病，5岁又染天花，几乎夭折，留下满脸麻子，眼睛受损，视力低下，双腿残疾，还经常受高烧折磨。可贵的是，这些不幸并没有使他意志懦弱，相反地，他在事业和人生的征途中历经磨难，身残而志坚。他青年时在符腾堡的德语学校和拉丁语学校学习，1588年进入图林根大学，并在数学和天文学教授迈克尔的指导下研究哥白尼的天文学，成为哥白尼学说的忠实信徒。1591年获硕士学位，1594年任奥地利的格拉茨大学讲师，1598年前往布拉格并在那里结识了大文学家第谷·布拉赫且成了他的助于。1601年第谷逝世后，开普勒继承了第谷的工作。
开普勒在天文学上的贡献是奠定了天体力学的基础。他利用第谷多年积累的观测资料，进行了分析、研究，发现了行星运动三定律：（1）椭圆轨道定律——行星轨道呈椭圆形，太阳在一个焦点上；（2）相等面积定律——在相等的时间内，行星和太阳连线所扫过的面积是相等的；（3）调和定律——行星公转周期的平方与椭圆轨道的半长轴的立方成正比例。
这三条定律是几千年纯粹观察天文学的登峰造极工作，它为后来牛顿发现万有引力定律和创立现代天体力学打下了基础。开普勒还创立了大气折射理论，并根据这一理论提出了天体望远镜即折射望远镜的原理，他还编制了恒星表。
开普勒不但是着名的天文学家，而且是杰出的数学家。
他是微积分的先驱者之一，他冲破古板的思想束缚，在“大自然甚至无须推理，而只凭本能教导几何”的信念下，发展了他的富于想象的不可分量的思想，系统地用无穷小方法计算面积和体积。用无数个同维的无穷小元素之和来确定面积和体积是开普勒方法的精华，他的方法的要点是：第一，把给定的几何图形分成无穷多个无穷小的图形，用某种特定的方法把这些图形的面积或体积加起来便得到给定的图形的面积和体积；第二，几何图形是由同样维数的不可分量（即无穷小面积或体积）组成。例如，他将圆看做边数为无限的多边形，把圆的面积看作无限多个无限小三角形的而积组成，多边形的边就是无限小三角形的底，圆心就是无限小三角形的顶点，从而全部面积等于圆周与边心距（即半径）乘积的1/2。他将球看作由无限多个无限小的锥体所组成，锥的顶点是球的中心，底面构成球的表面。从而指出球的体积是半径与球面积乘积的1/3。他将锥和柱看作由无穷多个薄圆片组成，或看作无穷多个从轴引出的无限小楔形体组成，或看作由具有其他形状的垂直截面或斜截面组成，并应用这种观点计算其体积。他还令圆绕一直线旋转，并用无限小方法计算由这样产生的圆环的体积。他令弦所截出的部分围绕弦旋转，依据截面大于或小于半圆，得到了形象地称为苹果形或柠檬形的体积，并用无限小方法计算了这种以及其他立体的体积。
美国着名数学家冯.诺依曼在《数学家》一文中说：“开普勒在积分学方面初步的一些尝试，是作为测量酒桶容积的'量积术’，也就是对表面为曲面的物体体积的计算方法进行了系统的阄述。”他的这些方法，系统地陈述在他的名着《酒桶新立体几何》之中，这本着作被誉为所有历来求体积方法的灵感源泉。特别对卡瓦列利和沃利斯有过深刻的影响。
酒桶的测量对开普勒提出了决定最佳比例问题，这个课题启发他考虑了很多有关极大与极小问题。在《立体几何》一书中，在论一系列问题中，他指出球内所有以正方形为底的内接平行六面体中，以立方体体积为最大。所有有公共对角线的正圆柱中，当直径和高之比为√2时体积取最大。这些结果是通过列出表格而获得的，即是对给定的长、宽、高的值列出体积的值，从这里选出最佳的比例。他从表的观察中得到一个有意义的事实，当体积接近极大值时，由尺寸的变化所产生的体积变化将越来越小。这已经接近于得出极值点处的一阶导数为零这一结论，这个结果不久为费马获得。
开普勒还建立了所谓连续性原理，实质上是提出了一个公设：在平面上无穷远处存在某些理想点和一条理想线，它们具有普通点和线的许多性质。于是，他说明了：一条直线可被认为闭合于无穷远点处，两条平行直线应被认为相交于无穷远处，抛物线可看作是椭圆或双曲线的一个焦点退到无穷远处的极限情形。这些观念给予后世几何学家以很大的启发。他对多面体也作过深入地研究：他可能是认识反棱柱的第一人；他发现了半正多面体，斜方十二面体和另一种斜立方体；四种可能的正星形多面体中，有两种是他发现的。他率先研究正多边形（不一定都一样）填满平面和以正多面体填满空间的问题。
开普勒在探索问题时，爱用类比的方法。他曾说：“我珍视类比胜于任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的奥秘，在几何学中它应该是最不容忽视的。”
开普勒写过一本书名叫《梦》的小说，讲的是一个人在梦中到月亮旅行，把月亮表面第一次如实地描述出来，因此《梦》是一本科学幻想小说。
开普勒一生坎坷，青少年时代病魔缠身；婚后生活也非常不幸，第一一个妻子死于疯病，爱子死于天花；他第二次结婚比第一次还要不幸，虽然他十分认真地比较了11个姑娘的长短，结果还是挑错了对象；他作为一个新教徒，当格拉茨城落入天主教徒之手时，他被解除了格拉茨大学讲师职务；他的母亲也被指控为巫婆遭到监禁，他几乎花了一年的时间到处奔走以救母亲出狱，自己也差点被定上了异端邪说的罪名；他的薪俸总是迟迟不发，1630年在索取长期拖欠的工资的旅途中染病去世。在生命垂危之际，他写了两句豪迈而悲壮的诗交给他的女婿和好友，希望以这首诗作他的墓志铭。他写道：
“我曾神算天机，巧妙测量大地。而今灵魂升天，身躯留此安息。”
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