一元二次不等式（二）

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正是由于不等式和方程之间千丝万缕的联系，所以我们可以把方程中的所有运算技巧原封不动地照搬到不等式中来。

首先我们来看一个最简单的解不等式。

可以因式分解成(x-1)(x-2)<0，于是得到1<x<2.

都说了简单了，没骗人吧？

我们接下来稍微做一丢丢的变化： 解不等式

好了，这是一个新的问题，我们该怎么解决？

天空飘来两个字：化归。

怎么个化归法呢？有绝对值的情况下第一步总是去掉绝对值。我们首先考虑x>0的情况，此时方程变成：

解得x>3或者x<1，但是此时有x>0的限制，所以得到x>3或者0<x<1;

然后考虑x<0的情况

得到x>-1或者x<-3，加上x<0，得到-1<x<0或者x<-3.

而当x=0的时候，不等式显然是成立的，所以综合起来就是：x>-3,-1<x<1,x>3.

当然，我们可以换一个角度来看——仍然是化归的思想。

是不是看起来更方便一些？

再看一个解不等式：

不过在我看来还有一种更加便于操作的办法。

对于绝对值来说，其最大的特性就是非负性，而不等式两边都是非负的，因此两边平方后得到的不等式和原不等式是等价的，即：

等等，贼老师，这不就变成了高次不等式了么？怎么越来越繁了？

其实高次不等式和一元二次不等式的解法差不多（摸着良心说的）。我们先来补充一下解一元高次不等式.

首先再来补充个定理：所有的多项式在实系数范围内一定能分解成若干一次和二次多项式幂的乘积，即：

这里所有幂的和恰好等于p.

这个定理我们默认是正确的，就不要大家证明了。。。接下来看一个一元高次多项式：

之前讲因式分解的时候我们提到，一元二次多项式如果实系数内不能分解，意味着判别式小于0，而且由于一次项系数均为1，这意味着所有的二次项的若干次幂都是非负的，因此，原不等式等价于：

这个就叫穿针法。标有+的区间就表示大于0的部分，标有-表示小于0的部分；如果要把偶次的都考虑上，效果是这样的：

穿针法的要求就是：穿奇不穿偶。在第二张图中，某些bj是偶次幂，所以就不穿过他们，点到为止。

学会了么？

我们来看一个具体的例子，解不等式：

不等式的零点从大到小排好就是6,5,4,3,1，其中偶数次是x-3和x-4，因此在穿的时候这两个忽略，我们得到：

x<1以及5<x<6时，不等式成立，其他时候均为非负。

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