面积计算(三十一)

对数字敏感永远不会吃亏——高斯并没有说过。

直角三角形中的勾股数很多时候是很明显的提示。当然,提示可能最后还是没有能让你把这个题目给做出来,但是起码有个大概的方向。

例:如图,正方形ABCD的边长为13,E,F是正方形外两点,且AE=CF=5,BE=DF=12,求EF^2的值。

你看,这个题目的线索就太多了。

首先一组3,4,5的勾股数,马上可以知道∠AEB=∠DFC=90°,没错,勾股定理的逆定理也是成立的,即若三角形三边a,b,c满足等式a^2+b^2=c^2,则c对应的∠C为直角。

勾股定理逆定理的证明最快捷的办法自然是余弦定理,纯几何做法有同一法或者利用相似三角形,但是这些都超出了小学生的理解范围,所以暂时不讲。

再然后呢?

看最后让你求什么。为什么不是求EF的长度而是求它的平方的值?

说明EF肯定不是有理数,换句话说,只有求EF^2的值才是符合小学生的认知的。

问题来了,去哪里找直角三角形,使得EF是这个直角三角形其中的一条边呢?

我从不否认,这个题目对于有些家长来说就是瞟一眼的事。但是自己会做和教给孩子是两回事。你不能说显然怎么样怎么样,而是要了解孩子的思考过程,通过和孩子的交流找到他的薄弱环节。

比如说孩子拿到题目一点思路都没有,你就可以提示他,你先观察一下题目中这些数字有没有什么联系?当孩子发现勾股数以后再问他,除了正方形中的直角以外,还有没有直角?

当孩子顺利找到另外两个直角以后,再问他,你觉得这个题目中还有什么不一样的地方么?然后再提示仔细观察最后要求的东西,这样一步一步地来,你也能准确地了解孩子哪个地方比较薄弱了,同时对于提高孩子找思路的能力是极大的锻炼。

耐心,一定要耐心!切忌心浮气躁,想想自己蹒跚学步的样子,谁都不是生下来就会跑的。

完成了这些以后,那么接下来就该找这个直角三角形了。怎么找?

以EF为边的三角形有没有?不好意思,一个都没有。

那么可能以EF为边的三角形有没有?

这个相对来说就比较困难一些,不过我们把EA和FD延长之后交于G点,那么就可以构成一个△GEF。

这个是能够想到的和EF有关的最直接的三角形了,下一个问题自然是:这样做对不对?

由于最后是求EF长度的平方,所以EF一定要处于某个直角三角形中,所以如果△GEF是直角三角形,那么很可能这样做是对的,否则就要另辟蹊径了。

很显然DF∥BE,所以∠DFE+∠AEB=∠BEF+∠AEB=90°,所以∠G=90°,这样看来这个辅助线基本就是对的。这时候我们要做的就是求出GE和GF的长度了。当然,用全等的方法来求是很容易的,不过作为小学生来说,更直接的办法就是顺便把EB和FC延长交于H,这样得到GEHF是一个大正方形——恰好就是我们证明勾股定理的办法!

于是这个大正方形的边长为5+12=17,所以EF^2=289+289=578。

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