《九章算術》之粟米四穀法初等問題詳解﹝2﹞
《九章算術》之粟米四穀法初等問題詳解﹝2﹞
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上傳書齋名：瀟湘館112 Xiāo Xiāng Guǎn 112
何世強 HoSai Keung
提要：《九章算術‧卷二》為〈粟米〉，此章主要談及粟米與其他穀物作等值之轉換，此卷之問皆屬初等之比例數。“四穀”之菽、荅、麻、麥有相同之率。
關鍵詞：糲飯、稗飯、糳飯、菽、荅
《九章算術》九卷，共九章，乃最早之古代數學著作之一，其作者無考。分二百四十六題二百零二術，乃漢代之重要數學著作。此書應經歷代多家之增補及修訂，而成為今之傳世本。著名之注者為晉‧劉徽及唐‧李淳風。
筆者所採用者乃清‧四庫全書本。清‧乾隆三十八年﹝公元1773年﹞編纂四庫全書，《九章算術》亦為其一。其提要曰：
《九章算術》九卷，蓋《周禮》保氏之遺法，不知何人所傳。《永樂大典》引《古今事通》曰：王孝通言周公制禮，有《九章》之名，其理幽而微，其形秘而約，張蒼刪補殘缺，校其條目，頗與古術不同云云。
舊本有注，題曰劉徽所作。考《晉書》稱魏‧景元四年，劉徽注《九章》，然注中所云“晉武庫銅斛”，則徽入晉之後，又有增損矣。
又有注釋，題曰李淳風所作。考《唐書》稱淳風等奉詔注《九章算術》，為《算經十書》之首。國子監置算學生三十人，習《九章》及《海島算經》，共限三歲，蓋即是時作也。
《九章算術‧卷二》為〈粟米〉，此章主要談及粟米與其他穀物作等值之轉換。
其意指若以粟米換其他穀物，即以某穀易他穀，則可依本章所提出之率而為之。“御”，有統率治理之意；“交質變易”，有交易轉換之意。
今以粟米為 50 為標準，他穀之轉換率如下：
粟率五十，糲米三十，稗米二十七，糳米二十四，御米二十一，
小䵂十三半，大䵂五十四，糲飯七十五，稗飯五十四，糳飯四十八，
御飯四十二，菽、荅、麻、麥各四十五，稻六十，豉六十三，
飧九十，熟菽一百三半，櫱一百七十五。
“今有”術曰：以所有數乘所求率為實，以所有率為法，實如法而一。
其意指粟率五十，則可得糲米三十，或粺米二十七，或糳米二十四，其餘類推。
以下為《九章算術‧卷二》相關之問﹝以下之算法皆採用筆者所謂之“約簡率”或“整數率”，若無此二率，則用原法﹞。
筆者有文名為〈《九章算術》之粟米法初等問題詳解〉，本文為其延續。以下各題均屬初等比例數學，顯淺易明。
(7)
今有粟二斗三升，欲為糲飯。問：得幾何？
答曰：為糲飯三斗四升半。
術曰：以粟求糲飯，三之，二而一。
解：
1 斗 10 升。糲飯指以糲米煮成之飯。《尸子》卷上曰：
珍羞百種而堯糲飯菜粥。
根據已知條件，粟率五十，則可得糲飯七十五﹝見前﹞。可列成以下之比例表：
|
粟之變易 |
粟 |
糲飯 |
|
率 |
所有率 |
所求率 |
|
原法 |
50 |
75 |
|
約簡率 |
2 |
3 |
|
粟量及變易物量 |
a |
x |
50：75 可以以 25 約簡為2：3，是為約簡率，以此率作計算。若粟量為 a 單位，而所得之糲飯為 x 單位，依比例算法即可知：
x =
，若 a = 23﹝升﹞，即 x =
× 23 =
= 34
﹝升﹞。
34
升 = 3 斗 4
升。
“三之，二而一。”指乘以 3 及除以 2。
李淳風等按曰：
淳風等按：糲飯之率七十有五，粟求糲飯，合以此數乘之。今以等數二十有五約其二率，所求之率得三，所有之率得二，故以三乘二除。
其意指 50：75 可以以 25 約簡而為2：3。
答：為糲飯 3 斗 4
升。
(8)
今有粟三斗六升，欲為稗飯。問：得幾何？
答曰：為稗飯三斗八升二十五分升之二十二。
術曰：以粟求稗飯，二十七之，二十五而一。
解：
稗飯指以稗米煮成之飯，一種粗米飯。宋‧陸游《對食戲作六首‧其二》曰：
白鹽赤米了朝餔，拗項何妨煮瓠壺。一種是貧吾尚可，鄰家稗飯亦常無。
又陸游之《村舍七首‧其七》曰：
氣全自可忘憂患，心動安能敵死生。若論老人真受用，已多稗飯與藜羹。
根據已知條件，粟率五十，則可得稗飯五十四﹝見前﹞。可列成以下之比例表：
|
粟之變易 |
粟 |
稗飯 |
|
率 |
所有率 |
所求率 |
|
原法 |
50 |
54 |
|
約簡率 |
25 |
27 |
|
粟量及變易物量 |
a |
x |
50：54 可約簡為25：27，是為約簡率，以此率作計算。三斗六升可化為 36 升，依比例算法即可知：
x =
，若 a = 36﹝升﹞，即 x =
=
= 38
﹝升﹞。
38
升 = 3 斗 8
升。
“二十七之，二十五而一。”指乘以27 及除以 25。
李淳風等按曰：
淳風等按：此術與大䵂多同。
大䵂之率亦為 50：54 ，同可約簡為25：27，故云。
答：為稗飯 3 斗 8
升。
(9)
今有粟八斗六升，欲為糳飯。問：得幾何？
答曰：為糳飯八斗二升二十五分升之一十四。
術曰：以粟求糳飯，二十四之，二十五而一。
解：
糳飯指以糳米煮成之飯。糳米可參閱筆者前文。根據已知條件，粟率五十，則可得糳飯四十八﹝見前﹞。可列成以下之比例表：
|
粟之變易 |
粟 |
糳飯 |
|
率 |
所有率 |
所求率 |
|
原法 |
50 |
48 |
|
約簡率 |
25 |
24 |
|
粟量及變易物量 |
a |
x |
50：48 可約簡為 25：24，是為約簡率，以此率作計算。依比例算法即可知：
x =
，若 a = 86 升，即 x =
=
= 82
﹝升﹞。
82
升 = 8 斗 2
升。
“二十四之，二十五而一。”指乘以24 及除以 25。
李淳風等按曰：
淳風等按：糳飯率四十八。此亦半二率而乘除。
“半二率而乘除”見約簡率，即原法除以 2。
答：為糳飯 8 斗 2
升。
(10)
今有粟九斗八升，欲為御飯。問：得幾何？
答曰：為御飯八斗二升二十五分升之八。
術曰：以粟求御飯，二十一之，二十五而一。
解：
御飯指以御米煮成之飯。根據已知條件，粟率五十，則可得御飯四十二﹝見前﹞。可列成以下之比例表：
|
粟之變易 |
粟 |
御飯 |
|
率 |
所有率 |
所求率 |
|
原法 |
50 |
42 |
|
約簡率 |
25 |
21 |
|
粟量及變易物量 |
a |
x |
50：42 可約簡為 25：21，是為約簡率，以此率作計算。依比例算法即可知：
x =
，若 a = 98 ﹝升﹞，即 x =
=
= 82
﹝升﹞。
82
升 = 8 斗 2
升。
“二十一之，二十五而一。”指乘以21 及除以 25。
李淳風等按曰：
淳風等按：此術半率，亦與糳飯多同。
糳飯之約簡率為 25：24，，即原法除以 2。雖亦“半二率而乘除”，但御飯之約簡率為25：21，與糳飯之率稍異。
答：為御飯 8 斗 2
升。
(11)
今有粟三斗少半升，欲為菽。問：得幾何？
答曰：為菽二斗七升一十分升之三。
解：
《九章算術》李籍音義曰：
﹝菽﹞音叔，大豆也。
古有“粟菽”一詞，泛指穀與豆類之農作物。菽、荅、麻、麥是為《九章算術》之“四穀”。
“少半”即
。根據已知條件，粟率五十，則可得菽四十五﹝見前﹞。可列成以下之比例表：
|
粟之變易 |
粟 |
菽 |
|
率 |
所有率 |
所求率 |
|
原法 |
50 |
45 |
|
約簡率 |
10 |
9 |
|
粟量及變易物量 |
a |
x |
50：45 可以以 5 約簡為 10：9，是為約簡率，以此率作計算。依比例算法即可知：
x =
，若 a = 41
=
﹝升﹞，
即 x =
×
=
= 27
﹝升﹞。27
升 = 2 斗 7
升。
答：為菽 2 斗 7
升。
(12)
今有粟四斗一升太半升，欲為荅。問：得幾何？
答曰：為荅三斗七升半。
解：
《九章算術》李籍音義曰：
﹝荅﹞都合切，小豆也。
荅之讀音為“都合”切，近今之粵音“搭”，入聲。
“太半”即
。根據已知條件，粟率五十，則可得荅四十五﹝見前﹞。可列成以下之比例表：
|
粟之變易 |
粟 |
荅 |
|
率 |
所有率 |
所求率 |
|
原法 |
50 |
45 |
|
約簡率 |
10 |
9 |
|
粟量及變易物量 |
a |
x |
50：45 可約簡為 10：9，是為約簡率，以此率作計算。依比例算法即可知：
x =
，若 a = 41
=
﹝升﹞，
即 x =
×
=
= 37
﹝升﹞。37
升 = 3 斗 7
升。
答：為荅 3 斗 7
升。
(13)
今有粟五斗太半升，欲為麻。問：得幾何？
答曰：為麻四斗五升五分升之三。
解：
金文麻字始見於西周晚期。此處之麻應指可食之麻子，而非其可績為布之麻皮。《詩‧豳風‧七月》曰：
九月築場圃，十月納禾稼。黍稷重穋，禾麻菽麥。
《禮月令》曰：
春食麥與羊，夏食菽與雞，秋食麻與犬，冬食黍與彘者，以四時之食各有所宜也。
《康熙字典》引《黃帝‧素問》曰：
麻、麥、稷、黍、豆為五穀。
“太半”即
。根據已知條件，粟率五十，則可得麻四十五﹝見前﹞。可列成以下之比例表：
|
粟之變易 |
粟 |
麻 |
|
率 |
所有率 |
所求率 |
|
原法 |
50 |
45 |
|
約簡率 |
10 |
9 |
|
粟量及變易物量 |
a |
x |
50：45 可約簡為 10：9，是為約簡率，以此率作計算。依比例算法即可知：
x =
，若 a = 50
=
﹝升﹞，
即 x =
×
=
= 45
﹝升﹞。45
升 = 4 斗 5
升。
答：為麻 4 斗 5
升。
(14)
今有粟一十斗八升五分升之二，欲為麥。問：得幾何？
答曰：為麥九斗七升二十五分升之一十四。
術曰：以粟求菽、荅、麻、麥，皆九之，十而一。
解：
根據已知條件，粟率五十，則可得麥四十五﹝見前﹞。可列成以下之比例表：
|
粟之變易 |
粟 |
麥 |
|
率 |
所有率 |
所求率 |
|
原法 |
50 |
45 |
|
約簡率 |
10 |
9 |
|
粟量及變易物量 |
a |
x |
50：45 可約簡為 10：9，是為約簡率，以此率作計算。依比例算法即可知：
x =
，若 a = 108
=
﹝升﹞，
即 x =
×
=
= 97
﹝升﹞。
97
升 = 9 斗 7
升。
“九之，十而一。”指乘以 9 及除以 10。
李淳風等按曰：
淳風等按：四術率並四十五，皆是為粟所求，俱合以此率乘其本粟。術欲從省，先以等數五約之，所求之率得九，所有之率得十，故九乘十除，義由於此。
50：45 可以以 5 約簡為 10：9，是為約簡率。“從省”，即用較小之數字運算。
答：為麥 9 斗 7
升。