y=x^x的性质（二）

5、性质（E）：当0＜x＜1/2时，x^x＜(1-x)^1-x.

证明——

（1）当1/4＜x＜1/2时，明显成立。

（2）当0＜x＜1/e时，

① a＞1： a^t＞1+t*lna（t≠0）

② a＞e： a^t＞1+t*lna＞1+t.

③令 a=1+1/t（0＜t＜1/(e-1)）

→    (1+1/t)^t＞1+t.

→    (1+1/t)＞(1+t)^1/t.

→    (1+1/t)^1+t＞(1+t)^1+1/t.

→    [t/(1+t)]^t/(1+t)＜[1/(1+t)]^1/(1+t).

④令 t/(1+t)=x（0＜x＜1/e）得  x^x＜(1-x)^1-x.  证毕。

6、推论—— 当0＜x＜1时，   (1+1/x)^x＞1+x.

7、难题—— y=(1+1/x)^x凹凸性证明。（有点难，已解决）