初中奥数精讲——第20讲数的整除性-答案精讲 / 开普饭

一、知识点解析

1. 设a、b是整数，b≠0，如果一个整数q，使得a=bq，那么称a能被b整除，或b能整除a，记作b|a，又称b为a的约数，而a称为b的倍数。

2. 数的整除性的常见特征

（1）被2整除的数的特征：个位数字是偶数；

（2）被5整除的数的特征：个位数字是0或5；

（3）被4整除的数的特征：末两位数能被4整除；

被25整除的数的特征：末两位数能被25整除；

（4）被3（或9）整除的数的特征：各位数字之和能被3（或9）整除；

（5）被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除；

（6）被11整除的数的特征：奇位数字的和与偶位数字的和之差能被11整除。

3. 整除的基本性质

这部分主要考察学生的对数的整除性的了解及掌握，这部分属于代数部分的常考的知识，这部分需要对整除有足够的知识了解，题型变化多，要夯实基础，才能保证在整除的学习上赶超别人，让我们在例题和解答中一起学习吧。

二、例题

例1 （“希望杯”初一数学试题）

解答：

例2 （北京市初二数学竞赛试题）

解答：

注：

①割尾法：
若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。

②末三法：

这个数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（反过来也行）能被7、11、13整除。这个数就能被7、11、13整除。

例如：1005928

末三位数：928，末三位之前：1005 1005-928=77

因为7 | 77，所以7|1005928

例3

设