2021 高考热点微专题 2——立体几何中的展开和折叠(2)

从 2016 年到 2020 年近五年,全国卷每年都考查折叠问题,其中 2018 年 1 卷第 7 题和18 题共 17 分都在考查折叠问题,值得高度关注。《立体几何微观深入和宏观把握》作了系统性梳理,从四个类型去突破。《高观点下全国卷高考数学压轴题解题研究三部曲》作了透彻分析,给出了很多变式。

三、折叠中的最值问题 2:选择合适变量构建函数,求导或均值不等式求最值

分析:求最值,以边长为变量,构建函数,如果复杂,对函数稍作处理,求导或均值不等式求最值。

点评:难点在于函数的构建和对函数的处理,也可以以 AB 的长度为变量构建函数,这样函数表达式稍微复杂一点,解答选择的变量与高联系更直接,函数表达式更简洁,在题目中灵活选择变量,力求构建简单的目标函数。

【考试中心的试题评价】本试题的问题设计,主要是考查考生将数学基础知识运用到实际问题情境中的意识与能力。问题的情境设计没有采用简单几何体的直观图为背景,而是把简单几何体设置在一个实际问题中,给出了简单几何体的平面展开图。考生需要在实际问题中,寻找三棱锥平面展开图的各种边角的位置关系与度量关系,在分析平面展开图的这些关系时,其实质是对解三角形的基本知识的运用。在得到各种度量关系后,可以利用体积公式求出体积,分析体积的最大值时要运用函数的导数研究体积对应函数的单调性,从而最终解决问题。因此,本试题是综合了简单几何体的直观图与平面展开图、解三角形以及函数导数等方面的知识,是对考生应用意识的深度考查。

本试题在解题策略上对考生也是一次有效考查。由于所给立体几何图形与平面图形的对称性,理论上讲,选择三棱锥中任意一个变量都可以建立体积的函数模型。但不同的变量选择,得到的函数模型有较大差异。不难看到选择三棱锥的高为函数的参变量是最简单的,所得体积的函数

不含无理式,只有多项式函数。而多项式函数的导数运算是基本初等函数中比较简单的,所求导函数的零点运算也是简单的。在不同的思路中,可以比较考生不同的解题策略和函数建模的策略。

本试题既在基础性、综合性、应用性与创新性等方面考查考生,又在数学运算与数学建模等核心素养方面考查考生,具有较好的区分度和选拔功能。

【解题反思 1】可以把图中的

三角形变为正方形。

【解题反思 2】构建函数,很多时候引入角度常常也可以使函数变得简洁。

四、利用几何模型解决问题

(点评:这个图形结构是典型的可以用向量法处理的结构模型,如果用几何法,则需要把 EF平移至 B 点的位置,以二面角为变量,来表示线线角的余弦值,建系和向量法是等效的,即不需要把异面直线平移成相交直线。)