2021 高考热点微专题 1 一——比大小

参考《高观点下全国卷高考数学压轴题解题研究三部曲》

全国卷考查比大小的频率越来越高,且题目的位置多位于选择题压轴题的位置。背住如下一些数字: ln 2

0.693

0.7, ln 3

1.099

1.1, ln 5

1.609

1.61, ln 7

1.946

1.95 ,lg 2

0.301

0.3, lg 5

0.7, lg 3

0.48

0.5 ,是破解难题机械且有效的方法。找中间数除了简单的 0,1 之外,可以利用二分法思想不断缩小数的范围或逐步逼近法。

一、函数观点、代数变形(指对数运算)和特值法

(一)指数、底数或真数相同

(二)相同的结构利用函数单调性

(三)变成相同的结构利用单调性

【点评】其中 2005 年 3 卷第 6 题、2017 年 1 卷第 11 题和 2021 考试中心八省联考命题思路完全,构造相同的结构,变成相同的结构,通过函数单调性来处理。其中 2005 年 3 卷第 6 题需要考生把

变为

从而转移到同一个单调区间,可以比大小。

则由指数函数的性质知选 D。

法二:(从对数式中构造出需要比较的式子)

由对数函数性质可以判断。

【解题反思】强化基础、基础为本:无论是哪种方法,都有一种基本思路,把 x , y , z 三个变量,都用同一个来表示,对指对数运算和互化都要求非常熟练。

强化基本观点:两个数比大小,可以看成两个函数值比大小,函数观点是比大小或处理不等式的基本观点,这既是考试中心考查的要求,也是课改理念的体现,前三种方法都要运用函数观点。

相同的结构是代数变形的方向之一:通过代数变形得到尽可能相同的结构,找到相同的部分,比较不同部分,这是比较大小的基本方法,法一根据需要结构,在指数上进行构造;根据比较的需要,法二和法四统一系数,法三在构造的相同结构基础上构造函数。

抓关键点,在点上突破:利用函数单调性比大小的关键在于把需要比较的数字转化到同一个单调区间,

变形至关重要,积累这些技巧,2005 全国 3 第 6 题考查过这三个数

的大小。

常考数据甚于一些公式:试题是以能力和思想立意,多考点想、少考点算,这往往会涉及很多常见的数据,记住这些常见数据,大大提高解题效益,有助于运算能力的提高。宁愿背住

也不去记忆半角公式。

【考试中心的试题评价】试题围绕幂函数、指数函数、对数函数的基本概念与性质,考查考生的逻辑推理能力、运算求解能力以及灵活解决问题的能力。本题解法多样,为考生综合应用所学数学知识创造了条件,使不同思维水平的考生都得到充分展示。试题考查内容重点突出,不但体现了课程标准的基本理念,而且体现了对知识的考查侧重于理解和应用的要求,很好地达到了考查目的与选拔功能。

二、选中间数和指对数运算

(一)选取 0,1 作为中间数

【点评】比大小既有指数式又有对数式,或者对数式的底数和真数都不一样,常常选取中间数 0,1 作为桥梁,利用不等式的传递性,如 6,7,而全国卷文科的考查,中间数的选择已经从 2010 的

，

再到 2012 重复

，和 2020 的

。理科则更为复杂。

三、不等式的解题中蕴含推理