第11 章导数和图像(The Derivative and Graphs)

11.1 函数的极值(Extrema of Functions)

如果 x = a 是函数 f 的一个极值点, 这就意味着函数 f 在a 点处有最大值或最小值, 不过这里还有区分两种极值: 全局极值和局部极值(global and local).

注: 全局极值和局部极值或称绝对极大值 Absolute maximum(minimum)和局部极值Local maximum(minimum).

11.1.1 全局极值和局部极值

每一个全局最大值都是局部最大值.

11.1.2 极值定理(The Extreme Value Theorem)

在第 5 章中, 我们看到过最大值与最小值定理(Max-Min Theorem): 连续函数在一个闭区间 [a, b] 内一定有一个全局最大值和一个全局最小值.

如果函数在 x = c 处的导数为零或导数不存在, 我们就称 x = c 为临界点(critical point), 又称驻点(Stationary Point). 值得注意的是, 一个函数的驻点不一定是这个函数的极值点(考虑到这一点左右一阶导数符号不改变的情况); 反过来, 在某设定区域内, 一个函数的极值点也不一定是这个函数的驻点(考虑到边界条件), 马上就再看到这一点.

极值定理(Extreme Value Theorem)假设函数 f 定义在开区间 (a, b) 内, 并且点c 在 (a,b) 区间内. 如果点 c 为函数的局部最大值或最小值, 那么点c 一定为该函数的临界点. 也就是说, f'(c) = 0 或 f'(c) 不存在.

例如来看 f'(c) = 0 图形示例, 观察上图黄橙色一阶导函数与 x 轴相交的黑点部分.

11.1.3 求全局最大值和最小值

11.2 罗尔定理

罗尔定理(Rolle's Theorem)假设函数 f 在闭区间 [a,b] 内连续, 在开区间 (a, b) 内可导. 如果 f(a) = f(b); 那么在开区间 (a,b) 内至少存在一点 c, 使得 f'(c) = 0.

11.3 中值定理(Mean Value Theorem)

中值定理:假设函数 f 在闭区间 [a,b] 内连续, 在开区间 (a,b) 内可导, 那么在开区间 (a,b) 内至少有一点 c 使得 f(b)−f(a)b−a=f'(c).

中值定理和罗尔定理这两个定理的条件几乎是相同的. 在两个定理中, 函数f 都要求在闭区间 [a,b] 内连续, 在开区间 (a,b) 内可导. 但罗尔定理还要求 f(a) = f(b), 中值定理则没要求这一点.

11.4 二阶导数和图像

如果把二阶导数看作导数的导数, 那么可以把二阶导数写为 (f')'(x) > 0. 这意味着导函数 f'(x) 始终是增函数.

观察下面图中不同的 (0,2) 与 (7.5, 10)范围二阶导数 f''(x) > 0 (凹向上, 如碗型: 凸函数Convex function), 所以导函数 f'(x) 始终是增函数;而在 (2,7.5) 区间二阶导数 f''(x) < 0(凹向下: 凹函数Concave function), 所以导函数 f'(x) 始终是减函数.

注: 国内凹凸函数有些书定义是相反的.