常用积分公式

常用积分公式表·例题和点评

(

为常数)

特别,

,

,

,   特别,

,特别,

,特别,

(递推公式)

跟我做练习

(一般情形下,都是先做恒等变换或用某一个积分法,最后套用某一个积分公式)

例24  含根式

的积分

[套用公式⒅]

(请你写出答案)

[套用公式⒃]

(请你写出答案)

[套用公式⒄]

(请你写出答案)

[套用公式⑼]

(请你写出答案)

例25  求原函数

.

  因为

所以令

从恒等式

(两端分子相等),可得方程组

解这个方程组(在草纸上做),得

. 因此,

右端的第一个积分为

(套用积分公式)

类似地,右端的第二个积分为

所以

(见下注)

【注】根据

,则

因此,

例26 

.     【关于

,见例17】

 令

(半角替换),则

于是,

【点评】求初等函数的原函数的方法虽然也有一定的规律,但不像求它们的微分或导数那样规范化.这是因为从根本上说,函数

的导数或微分可以用一个“构造性”的公式

确定下来,可是在原函数的定义中并没有给出求原函数的方法.积分法作为微分法的逆运算,其运算结果有可能越出被积函数所属的函数类.譬如,有理函数的原函数可能不再是有理函数,初等函数的原函数可能是非初等函数(这就像正数的差有可能是负数、整数的商有可能是分数一样).有的初等函数尽管很简单,可是它的原函数不能表示成初等函数 ,譬如

都不能表示成初等函数.因此,一般说来求初等函数的原函数要比求它们的微分或导数困难得多.我们用上面那些方法能够求出原函数的函数,只是初等函数中的很小一部分.尽管如此,我们毕竟可以求出足够多函数的原函数,而这些正好是应用中经常遇到的函数.因此,读者能够看懂前面那些例题并能够基本完成各节后的练习就足够了.

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