常用积分公式
常用积分公式表·例题和点评
⑴
(
为常数)
⑵
特别,
,
,
⑶
⑷
, 特别,
⑸
⑹
⑺
⑻
⑼
,特别,
⑽
,特别,
⑾
或
⑿
⒀
⒁
⒂
⒃
⒄
⒅
⒆
⒇
(递推公式)
跟我做练习
(一般情形下,都是先做恒等变换或用某一个积分法,最后套用某一个积分公式)
例24 含根式
的积分
⑴
[套用公式⒅]
⑵
(请你写出答案)
⑶
[套用公式⒃]
⑷
(请你写出答案)
⑸
[套用公式⒄]
⑹
(请你写出答案)
⑺
[套用公式⑼]
⑻
(请你写出答案)
例25 求原函数
.
解 因为
所以令
从恒等式
(两端分子相等),可得方程组
解这个方程组(在草纸上做),得
. 因此,
右端的第一个积分为
(套用积分公式)
类似地,右端的第二个积分为
所以
(见下注)
【注】根据
,则
因此,
例26 求
. 【关于
,见例17】
解 令
(半角替换),则
于是,
【点评】求初等函数的原函数的方法虽然也有一定的规律,但不像求它们的微分或导数那样规范化.这是因为从根本上说,函数
的导数或微分可以用一个“构造性”的公式
或
确定下来,可是在原函数的定义中并没有给出求原函数的方法.积分法作为微分法的逆运算,其运算结果有可能越出被积函数所属的函数类.譬如,有理函数的原函数可能不再是有理函数,初等函数的原函数可能是非初等函数(这就像正数的差有可能是负数、整数的商有可能是分数一样).有的初等函数尽管很简单,可是它的原函数不能表示成初等函数 ,譬如
等
都不能表示成初等函数.因此,一般说来求初等函数的原函数要比求它们的微分或导数困难得多.我们用上面那些方法能够求出原函数的函数,只是初等函数中的很小一部分.尽管如此,我们毕竟可以求出足够多函数的原函数,而这些正好是应用中经常遇到的函数.因此,读者能够看懂前面那些例题并能够基本完成各节后的练习就足够了.
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