草根公开课|角的平分线的性质(习题课)
7月12日，我在武汉洪山区开设了一节《角的平分线的性质(习题课)》公开课（人教版）.由于诸多原因，课题是7月11日才确定下来的，在去武汉的高铁上备的课，可以说是我准备期最短的一节公开课.
教学目标：
1、复习角的平分线的性质，能用角的平分线的性质解决较复杂的数学问题；
2、经历对于数学问题探究的过程，实践分析几何问题的基本方法，尝试在较复杂的问题中挖掘隐含条件，发展逻辑思维能力和推理论证能力.
重点和难点：
重点：综合运用角的平分线的性质解决几何较复杂的数学问题.
难点：在较复杂的问题中挖掘隐含条件.
教学过程：
引例：已知,如图,在△ABC中,∠A=50°,若∠ABC和∠ACB的平分线交于点D
（1）请问图中是否有大小确定不变的角，并求出该角的度数；
（2）联结AD，请问图中是否产生新的大小确定不变的角，并求出该角的度数.
解（1）∠D大小不变
∵ BD平分∠ABC，CD平分∠ACB
∴ ∠ABD=∠DBC=α，∠ACD=∠DCB=β
∵ 在△ABC中，
∠A+∠ABC+∠ACD=50+2α+2β=180°，
∴ α+β=65°
∵ 在△DBC中,
∠D+∠DBC+∠DCB=180°，
∴ ∠D=180-65=115°
（2）∠BAD、∠CAD大小不变
过点D分别作DH1⊥BC于H1，
DH2⊥AB于H2，DH3⊥AC于H3
∵ BD平分∠ABC，
DH1⊥BC于H1，DH2⊥AB于H2
∴ DH1=DH2，同理可证，DH1=DH3
∴ DH2=DH3，
∴ 点D在∠BAC的角平分线上
即AD平分∠BAC
∴ ∠BAD=∠CAD=(1/2)∠BAC=25°
师：从本题解决过程看，我们可以得到怎样的结论？
答：三角形三条内角平分线交于一点，该点到三角形的三边距离相等
师：若三角形中两条内角平分线交点确定，第三条角平分线也随之确定，如果说这两条内角平分线是显性条件，那么这第三条角平分线就是藏在这两条角平分线背后的隐性条件。
变式：已知,如图,在△ABC中,∠A=50°,∠ABC和∠ACB外角的平分线交于点D，
（1）请问图中是否有大小确定不变的角，并求出该角的度数；
（2）延长BA，联结AD，请问图中是否产生新的大小确定不变的角，并求出该角的度数.
简证：2β=2α+∠A，β=α+∠D，
∴ ∠D=(1/2)∠A=25°
简证：DH1=DH3，DH1=DH2，
∴ DH2=DH3，
∴AD平分∠CAE，∠CAD=∠EAD=65°
师：从本题解决过程看，我们可以得到怎样的结论？
答：三角形两条外角平分线和一条内角平分线交于一点，该点到三角形的三边所在直线距离相等
师：就本题而言，如果说这一条内角平分线和一条外角平分线是显性条件，那么这第三条外角平分线就是藏在这两条角平分线背后的隐性条件。
例1：如图，在△ABC中，∠ABC=3∠C，在AC上有点D，联结DB，使得∠DBC=∠C，过点D做直线DH⊥BC交BC于点H，∠ABD的平分线交直线DH于点F，联结AF，
求证：AF∥BD.【课前画图，板演讲解】
（1）标注条件，初步分析：
师：通过标注条件，我们初步得到哪些信息？
答：∠ABF=∠FBD=∠DBC=∠C=α，……
师：初步设想一下，欲证AF∥BD，则可证什么？
答：证∠EAF=∠EBD=2α
（∠FAD=∠ADB=2α）
→∠EAD=4α→AF平分∠EAD
（2）让学生思考5分钟
（3）引导分析，挖掘隐含
（让学生充分发表想法）
分析：注意到，BF是∠ABD的平分线，即△ABD中∠ABD的平分线，本例需证明AF平分∠EAD，而∠EAD是△ABD中∠BAD的外角，那么DF是不是△ABD中∠ADB外角的角平分线呢？
板演：
AF∥BD←AF平分∠EAD←
在△ABD中,BF平分∠ABD,DF平分∠ADG
（隐含条件）
例2：如图,在△ABC中,∠ABC=100°,∠C的角平分线交AB于点E，在AC边上取点D使得∠CBD=20°，联结DE，
求∠CED的度数.
【课前画图，板演讲解】
（1）标注条件，初步分析：
师：通过标注条件，我们初步得到哪些信息？
答：∠ABD=80°，∠DBC=20°，CE平分∠BCD……
（2）让学生思考5分钟
（3）引导分析，挖掘隐含
（让学生充分发表想法）
分析：可以发现仅通过“导角”，无法求得∠CED的大小，让我们回到条件80°、20°中，这其中是否隐藏着什么？
对！100°的补角是80°，即BE是△BDC中∠ADC的外角平分线.则DE平分∠BDA，∠CED=(1/2)∠DBC=10°
板演：
∠CED=(1/2)∠DBC=10°
←DE平分∠ADC←
在△ADC中,CE平分∠ACB,BE平分∠FBD
（隐含条件）
课堂小结：
师：想想我们这两道例题遇到的最大困难是什么？
答：部分条件没发现.
师：对！这就叫做“隐含条件”
隐含条件：是题设中隐蔽的条件，它们常常巧妙地隐蔽在题设的背后，不易被发现和利用。
师：这两道例题中的隐含条件主要体现在哪些地方？
答：（1）两条显性角平分线背后的隐藏第三条角平分线；
（2）不易发现的一条“外角”角平分线
师：我们应该如何挖掘隐含条件？
第一条是几何性质层面，第二条是图形结构层面，从正面突破，可以采用补形或挖掘数量之间的关系，从反面突破，可以“由果索因”，抓住关键条件，猜想证明之必要条件.
课后反思