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黄剑芳，笔名氢剑，在福建省福州第一中学任教高中化学，中学高级教师，教学基本功扎实，有较强的学科整合能力，上课、说课、课件比赛均获过全国一等奖，多篇论文在《化学教育》、《化学教学》等刊物上发表，近年专注三维技术应用于物质结构的教学研究。兴趣广泛，喜爱登山、徒步、摄影、旅游，知识面广，授课风趣幽默，待人真诚，深受广大师生欢迎。
13.体心立方堆积
本文微视频时长28分钟02秒。利用三维虚拟技术较为详细分析了八面体空隙与四面体空隙的特点，演绎了立方最密堆积、六方最密堆积和体心立方堆积三种常见堆积方式的原子个数、八面体空隙与四面体空隙的位置、数目与相互关系等问题。演绎直观形象、生动，想象力丰富，富有启发性。
从晶体中原子排列的刚球模型和对致密度（致密度指晶胞内原子球所占体积与晶胞体积之比值）分析可知，即使是最密堆积，金属晶体中依然存在空隙，这些空隙对金属的性能有重要影响。晶体结构中最常见的空隙是八面体空隙（图1、2）和四面体空隙（图3、4）。八面体空隙由6个原子围成，四面体空隙由4个原子围成，若设金属原子的半径为rA，空隙能容纳的最大外来原子半径为rB，利用几何关系可求出正八面体与正四面体空隙的rB/rA的比值分别为0.414，0.225。
图1 八面体空隙
二、面心立方晶胞的空隙种类与个数
立方最密堆积的晶胞拥有的原子个数：8×1/8＋6×1/2＝4。立方最密堆积有两种空隙：八面体与四面体空隙。任意四个相切的球体围成一个四面体空隙，具体到晶胞而言，四面体空隙由一个顶角原子与三个面心原子围成，空隙数目为8，均位于晶胞内部，是面心立方原子数4的2倍（图5）。同一个密置层相切的三个球体若与相邻的另一密置层三个相切的球体空隙对应（中间没有球体），这六个球将围成正八面体空隙，具体到晶胞而言，八面体空隙由六个面心原子围成，晶胞内部有1个八面体空隙，棱边中心各有1个八面体空隙，考虑到均摊，一个立方最密堆积拥有的八面体空隙数为1＋12×1/4＝4个，如图6，与面心立方原子数4相同。故立方最密堆积晶胞原子个数∶八面体空隙数∶四面体空隙数＝4∶4∶8。
三、六方晶胞的空隙种类与个数
1、原子个数：六方最密堆积的晶胞拥有的原子个数：4×1/6＋4×1/12＋1＝22、空隙种类、位置与个数：六方晶胞有两种空隙：八面体与四面体空隙（图7）。任何四个相切的球围成一个正四面体空隙，在一个晶胞内最易找到的两个四面体均在晶胞内部（观看演示）；此外，三维堆积时若三角形空隙之上（或之下）放了球，则四个球围成正四面体；若三角形空隙之上（或之下）还是三角形空隙。则六个球围成一个正八面体空隙（观看演示），即相切的三个球与相邻密置层相切的三个球围成正八面体，晶胞内部在第一与第二、第二与第三密置层共面形成两个正八面体。注意正四面体不仅内部有两个，因为任何四个相切的球都能围成一个正四面体空隙，所以晶胞顶点八个球分别与中间层围成正四面体空隙，两个四面体共面连接成三方双锥形，它们的中心落在与Z轴平行的四条棱边上，故一个晶胞拥有的正四面体空隙数为2＋4×1/3＋4×1/6＝4个。故六方最密堆积晶胞原子个数∶八面体空隙数∶四面体空隙数＝2∶2∶4。
四、体心立方晶胞的空隙种类与个数
立方最密堆积的晶胞拥有的原子个数：8×1/8＋1＝2。体心立方堆积没有正多面体空隙，但有多种变形的多面体空隙，这里介绍变形的八面体空隙与变形的四面体空隙。变形的八面体空隙（图8）：其中心位置位于晶胞每个面的中心与每条边的中心，是一个压扁的八面体，在垂直轴上从中心到顶点的距离为a/2（a为晶胞参数），比水平方向的距离√2a/2要短。空隙最短处能容纳最大外来原子半径为rB和堆积原子的半径rA的rB/rA比值为0.154。晶胞中的这种八面体空隙数为6×1/2＋12×1/4＝6个（图9）。变形的四面体空隙（图10）：每个面上都有4个四面体的中心，如图，这种空隙的rB/rA比值为0.291，晶胞中的这种四面体空隙数为24×1/2＝12个（图11）。故体心立方堆积晶胞原子个数∶八面体空隙数∶四面体空隙数＝2∶6∶12。
五、晶体结构中的空隙小结
（图12～14原图源自麦松威、周公度、李伟基《高等无机结构化学》一书）
视频中的三维虚拟模型是氢剑采用互动式三维虚拟技术制作的。在相关插件支持下，用鼠标即可对结构模型进行平移、滚动、旋转、缩放、变形、增添或删除原子及触动预先设置的动画等操作。
