黎曼猜想漫谈（上）
黎曼猜想漫谈（上）
文 | 陈泽坤
“Mathematicians have tried in vain to this day to discover some order in the sequence of prime numbers, and we have reason to believe that it is a mystery into which the human mind will never penetrate.”
——Leonhard Euler
一、在黎曼猜想之前
如果要说在数学界里，乃至于整个社会里，最为引人注目的猜想，莫过于是Riemann猜想了。我们似乎已经不必花费笔墨介绍它的名气与难度，它是1900年Hilbert在世纪之交的二十三条问题中的一个，在一百年后，Clay研究所列举的千禧年七大难题里，它又出现在其中，它是唯一一个出现了两次的问题。
想要明白Riemann猜想有何重要的意义，我们需要回到Riemann在1859年那篇划时代的论文去。彼时Riemann刚刚被选为柏林科学院的通讯院士。作为给柏林科学院的见面礼，他在同年提交了一篇论文名为《论小于给定数值的素数个数》的论文。在我们将要讲述的故事里，它是一切的序章。
Riemann本人并不能算是一个严格的数论学家，他在复分析和几何的成果同样丰富而具有开创性。这篇也许是他在数论领域唯一的工作，可对于这样的一位巨人来说，一篇八页长的论文，就足以让一两百年来的后人都有活干了。在进入这篇论文之前，我们不妨先停顿一下，去更久远的地方看看，这篇论文关心的是一个什么样的问题。
所谓数论，就是有关整数的一切问题，而每一个整数的问题都要用到素数来化简（作者注：素数就是这样的整数，它不能分解成另外两个整数的乘积，很大意义上它们是那些“最简单的整数”——这条注用来证明本文真的是面向零基础的读者的）。所以与其说数论关心整数，倒不如说数论同等地关心整数与素数。而这篇论文，抱着雄厚的野心，想要一举告诉我们所有素数的答案。
关于素数有无穷多个，从古希腊时代就已为人所知，这是一个每当讲到这里都会提到的证明，来自伟大的著作《几何原本》。证明十分简单，却可以算是数学史上最为经典的反证法了。
证明是这样的。假如总共只有有限个素数，我们就称它们是p1,p2,…,pn好了。我们知道每个正整数都能写成素数的乘积，那么每个大于1的数就都被其中一个素数整除。可是这样的话，我们就考虑p1 p2…pn+1这个数，之前的每个pi都不整除它，可这怎么可能呢？只有可能是一开始的假设错了，也就是说，素数有无穷多个。
知道了素数有无穷多个，紧接着就能展开追问：“素数有多‘无穷’？”它是整数的一半那么多？还是像√x那么多？我们可以用一个简单的式子估计素数大概有多少个么？然而这个简单的追问，却难住了人类上千年。因为素数的分布，实在是太没有规律了（至少看起来是如此）。
二、欧拉的公式
之后的第一个突破，一下子就来到了18世纪，我们的Euler出场了。他发现了大名鼎鼎的Euler乘积公式，为后来Riemann ζ函数的定义做好了铺垫。
只要这里的s是一个实部大于1的复数，等号两边的求和与乘积就总是收敛并且相等的——只要你注意到：
再把这些个括号乘开，就得到了这个等式（Euler最初只考虑s是实数的情况，后来大家很快意识到对实部大于1的复数都是对的）。
如果s=1呢？我们暂时抛弃一点严谨性，两边就是两个相等的无穷级数，我们就是喜欢分析无穷时的性质，于是我们对它们求一个对数，得到了这样的一个式子。
特别地，所有素数的倒数和是发散的。这就说明虽然随着素数越来越大，它们会越来越稀疏，可它们依然是多得很的。比如说，素数比所有的完全平方数还要多很多，因为我们知道1/n2 的倒数和是一个有限的数，可是素数的倒数和是无穷大，说明比之多了不止一个量级。如果我们用π(x)来表示不大于x的素数的个数，那么翻译过来就是说，π(x)一定比√x要大得多。
我们今天知道π(x)∼x/lnx ，这个就是大名鼎鼎的素数定理。由倒数和到直接计数，也就是从1/p的求和到1的求和，看起来问题更加简单了，事实上困难得多，它躲过了Euler、Gauss这些大师的围剿，后来一直到1896年，才被Hadamard与de la Vallée Poussin独立地证明了出来（作者注：今天素数定理已经有相对初等的简化证明。只用借助数学分析的工具，就能在几页之内证明出来。如果你对此好奇，可以阅读文末参考文献[2]）。
Gauss预言了素数定理的样子，他甚至精确地指出：
但他并没有给出证明。Gauss之后，故事就到了Riemann这里。终于在1859年，Riemann拿出了我们一开始提到的那篇论文，《论小于给定数值的素数个数》。
三、所有素数的韦达定理
故事至此，你也许要猜到了，他应该要证明出来素数定理了！可是他没有，他做了一件更绝的事情：他直接把π(x)的表达式写出来了。
很难说Riemann是不是懒得去证明素数定理。然而无论如何，Riemann给出的结论，实在是要比素数定理深刻而重要得多——如果我们能有一个等式，我们何必还要去追求约等号呢？
Riemann的这篇划时代的论文仅仅只有八页，通篇都是对他的ζ函数进行分析。Riemann的思想核心只有一句话：ζ函数就是那个涵盖了所有素数信息的东西。
ζ函数，在那个年代已经不是新东西了，从Euler的乘积公式开始，这个函数就呼之欲出。可当时的人仅仅将它定义在那些实部大于1的s上。Riemann的文章里做的第一件事儿，就是把它延拓到整个复平面上（作者注：解析延拓使得能定义在整个复平面上，但是它的定义式依然只对实部大于1的s才成立。所以诸如1+2+3......=-1/12的“等式”，不是真的等式，数学上指的其实就是ζ（-1）=-1/12）。它就成了分析学家最擅长分析的亚纯函数。紧接着，Riemann又给出了ζ(s)满足的一个函数方程，它揭示了ζ(s)和ζ(1-s)的一种对称性。解析延拓和函数方程，同样是ζ(s)非常重要的性质，我们会在下个章节里面谈到。
做完这些之后，Riemann所做的准备工作都结束了。他终于能将目标转向他真正关心的东西——素数。
ζ函数与素数，它们之间有一种非常神奇的对偶关系，这种关系我们其实常常遇到：它特别像多项式与它的根之间的关系。就像Galois向我们揭示的一样，一个一个的点永远是捉摸不定的，可藉由它们合在一起产生的那个多项式，藉由点与多项式之间的深刻联系，我们却能讲出美妙的故事。
而Riemann在那篇论文里所做的，就是写下来所有素数满足的那个“韦达定理”。我们不妨先把这个“韦达定理”写出来，再来解释它的意义。
你可能会疑惑，这其中的π(x)去哪儿了？这里是Riemann又一个高明的地方——我们不一定要研究π(x)，有时候别的函数可能是更自然的选择。这儿的函数J(x)，是一个类似π(x)的函数，它不仅计数了素数，也计数了素数的幂次。用初等数论中的Mobius反演，我们很容易能将J(x)与π(x)互相表示出来。所以就无所谓算哪一个了，知道了其中一个就能很容易地写出来另一个。
在这儿，我们不写出来J(x)的具体表达式了，因为我更喜欢(4)式接下来的这个形式。既然我们已经用别的函数来代替π(x)了，不如就用一个比Riemann所使用的还优雅自然的函数。(4)式用它来表示出来，就变成了这样：
那么ψ0是什么呢？它来自于名叫Chebyshev函数的ψ
它和原本的π(x)也非常地相似，π(x)是对所有素数求和，每次求和就加1,；而ψ(x)是对素数的幂次求和，每次求和加上lnp。它们之间的关系非常紧密，我们很容易证明，π(x)∼x/lnx就等价于ψ(x)∼x。既然如此，我们不如就来估计ψ(x)好了——与其估计π(x)与一条弯弯曲曲的函数之间的差距，还是看ψ(x)和一条直线之间的差距来得舒服。
而ψ0 (x)，则是对ψ(x)做了一点点轻微的调整，在它的每个间断点x，我们用(ψ(x+)+ψ(x-))/2来代替原本的函数值。这只是一个技术上的小操作（作者注：在Fourier变换里常常要用到这样的微调），基本上可以当作就是原本的函数ψ(x)。
我们终于开始解释式子(5)了。等式总共有四项，我们一项一项看。
第一项是x，它正是素数定理的估计。
第二项是-ln(2π)，它是一个常数，不是特别重要。
第四项是-ln(1 - 1/x2)/2，它比1还要小得多，在x越来越大的时候趋于0，所以它比第二项更不重要了。
那么这个第三项，就是使得ψ(x)从一条直线变成阶梯函数的罪魁祸首。而它，正是关于ζ函数所有非平凡零点的一个求和。我们如果取来其中一些零点参与计算，函数图像就会在y=x这条直线附近震荡，零点用得越多，就震荡得越贴合那个阶梯函数ψ0 (x)。
于是我们总结一下：ζ函数的零点，完完全全决定了素数定理的误差。素数计数函数π(x)，我们把它画出来，其实就是一条通天的细线，与一串围绕它飞舞的蝴蝶。
四、终于，黎曼猜想
至此，Riemann猜想呼之欲出：我们要研究ζ函数的零点。关于它们知道得越多，关于素数也就知道得越多。
由ζ函数的定义式，我们很容易知道它在Re(s)>1的部分全都没有零点。我们再用上函数方程，就知道了ζ函数在Re(s)<0这一片区域上的取值，它所有的零点就是那些负偶数。可在中间呢？在0≤Re(s)≤1这一片区域上面，定义式也帮不到我们，函数方程也帮不到我们了，关于Riemann猜想所有的谜团，都集中在这片区域上，我们一般叫它临界带（critical strip）。
Riemann随即提出了他的三个命题。这三个命题一条承接一条，像三道巨浪一样展现在我们面前。
第一个命题说，在0<Im(s)≤2πT这一段区域里，ζ(s)大约有T(lnT-1)个零点。
第二个命题说，在0<Im(s)≤2πT这一段区域里，ζ(s)在Re(s)=1/2上的零点也大约有T(lnT-1)个。
第三个命题说，ζ(s)的所有非平凡零点都应当在Re(s)=1/2这条直线上面。
第一个命题被Riemann用来证明级数的收敛性，他在他的论文里随手写下了一个描述，解释第一个命题为什么是对的，但是因为太过粗略不构成一个证明。这个让Riemann觉得显然的事情，一直到46年后，才由德国数学家Hans von Mangoldt严格地证明了出来。第二个命题则更加离谱，它比迄今为止人类所得到的所有结论还要强得多。而第三个命题，就连Riemann自己也不确定了。对，它就是我们的Riemann猜想。
“Hiervon wäre allerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indess die Aufsuchung desselben nach einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig bei Seite gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien.
当然我们会想拥有一个严格证明；我在一些快速而徒劳的尝试之后，决定暂且将这件事情搁置一旁。毕竟对于我们眼前的目标而言，一时还不会用到它。”
——Bernhard Riemann
写下这些文字之后，Riemann便扬长而去。他的目的确实已经优雅地达到了，他给出了素数个数的美丽公式。可留给后人的遗产，我们在此之上能讲出的故事，远远不止八页纸能够说得完……
作者注：本文重点借鉴了卢昌海的文章《Riemann猜想漫谈》，这可能是中文互联网世界关于Riemann猜想最好的科普文章了，感兴趣的读者一定要去看看。