级数证明法的应用（一）

1、对数幂级数：

(-1)ln(1-x)=∑(n=1…∞)xⁿ/n （|x|＜1）。

2、“级数法”证明不等式：（0＜x＜1）(1+1/x)^x＞1+x.

（1）设 y=(1+1/x)^x/(1+x)＞1（？）

（2） lny=x*ln(1+1/x)-ln(1+x)

=x{-ln[1-1/(1+x)]}+ln[1-x/(1+x)].

=x∑(n=1…∞)(1/n)/(1+x)ⁿ-∑(n=1…∞)(1/n)[x/(1+x)]ⁿ.

=∑(n=2…∞)(1/n)(x-xⁿ)/(1+x)ⁿ＞0成立，故 y＞1 得证。

（3）推论：（0＜x＜1）(1+1/x)^x＞1+x＞x(1+x)^1/x＞xⁿ(1+x)^1/x（n＞1）。

3、“级数法”证明增函数： y=(1+1/x)^x（x＞0）.

（1） lny=x*ln(1+1/x)

（2） y′/y=ln(1+1/x)-1/(1+x)

=-ln[1-1/(1+x)]-1/(1+x)

=∑(n=1…∞)(1/n)/(1+x)ⁿ-1/(1+x)

=∑(n=2…∞)(1/n)/(1+x)ⁿ＞0成立，故 y′＞0得证。