每周中考题：原创几何证明题

如图，已知正方形ABCD边长为2，Rt△EBF中，BE=BF，EF与CD交点为P，BE与AD相交于G（G不与A、D重合），EF与AD相交于H，当AG=3GD时，

（1）若BF=3，求证：PF=BD；

（2）在（1）条件下，连接CF，求CF的长；

（3）假设BF长度为x，其他条件不变，当G、C、F三点共线时，求x的值；

探究：

（4）若BF=3，PF²=32时，GD长度发生改变，求此时GD长；

应用：

（5）追加问题：若BF=3，当点P为CD中点时，求GD长；

昨天推送题目的时候，没有具体去计算数值，所以第（3）（4）的计算比较复杂，因此（3）（4）问题进行修改，难度降低了不少。另外追加的第（5）问题，同学们自行搞定，不再提示。

首先，这道题规则图形，所以利用坐标系肯定是可以解决的，有兴趣的话自行搞定。今天我们就先不借助坐标系了。

审题略······

（1）要证明PF=BD，

这两个线段不在一个三角形中，

首先想象三角形全等，

BD为△BGD的长边，且有45°角，

PF仅仅和∠F这个45°角相邻，那么如果能够构造出三角形，就有可能形成全等了。

所以，做辅助线，

延长PC交BF于点M，

如上图，这样一来，我们很容易就发现了一个旋转图形，

△ABG和△CBM，

那么二者可以证明全等，证明过程略，

得到△ABG≌△CBM，

全等后，得到对应角相等，

即∠AGB=∠BMC，

同时对应边相等，BM=BG，

根据AG=GD，可得AG长度，

结合勾股定理得BG=BM=2.5,

则MF=0.5，

所以可得MF=DG，

∠PMF=180°-∠BMC，

∠BGD=180°-∠AGB，

所以∠PMF=∠BGD，

再加上45°角相等，

可证△BGD≌△PMF，

得PF=BD；

（2）要求CF的长度，我们将CF连接起来

要求CF的长度，最容易想到的就是放入直角三角形，利用勾股定理解决，

那么如何将CF放入Rt△呢？

过F作FN垂直AB于N，并交CM延长线于点K，

如图，我们只需要搞定CK和KF即可，

那么CK=BN，KF=NF-KN=NF-BC，

所以还要搞定Rt△NBF的BN和NF两个边长，

方法可利用△ABG∽△NFB，

得到BN：NF=3:4，

所以可得BN和NF的长，

因此CK和KF搞定，

勾股定理解决CF的长即可；

（3）G、C、F三点共线，

那么我们只需要得到∠BCG=∠NFC即可，

而∠NFC在直角三角形中，

如果将∠BCG也放入直角三角形，那么就容易多了，

如图，过G作GL⊥BC于L，

那么只需要△GLC∽△CKF即可，

由BN和NF的比例关系可分别用x来表示，

那么KF和CK可得，

KF：CK=LC：GL=1:4，

解出x即可；

（4）PF²=32，那么PF可得，

根据（1）方法，△ABG≌△CBM是成立的，

所以仍有∠AGB=∠BMC，

则△BGD∽△PMF，

则PF：BD=MF：GD，

假设GD=m，可得MF=2m，

则AG=2-m，

BG=BM可得BM长度，

而BM+MF=BF，

解方程即可；

注意解得的GD不要超出范围。

（5）前面的内容掌握住了，这一问就可以自行解决了。